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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small La Réunion }
\rfoot{\small juin 2003}
\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}} 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,25cm}

La candidat traitera obligatoirement les deux exercices et 
le problème 

\vspace{0,25cm}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal
\Ouv{} d'unité graphique $4$~cm, on considère trois points A,
B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}}= 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  z_{\text{B}} =  1 - \text{i}\sqrt{3},\quad  z_{\text{C}} = l.\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère
\Ouv.

Justifier l'alignement de ces points et tracer la droite correspondante.
	\end{enumerate}
\item  Soient A$'$ et B$'$ les points du plan d'affixes respectives
\[z_{\text{A}'} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}~ \text{et} ~ z_{\text{B}'} =
\dfrac{1}{z_{\text{B}}}.\]	
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Calculer la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$
		\item Placer les points A$'$ et B$'$ sur le même schéma que précédemment.
		\item Préciser l'image de A$'$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Placer, sur le schéma précédent, le point I d'affixe $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2}$  et calculer les distances IA$'$, lB$'$ et IC	
		\item  En déduire que les points A$'$, B$'$ et C sont situés sur un
cercle dont on donnera le centre et le rayon.

Tracer ce cercle sur le même schéma.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}
`
\medskip

Une urne contient une boule rouge R, deux boules blanches B$_{1}$
et B$_{2}$, et deux boules noires N$_{1}$ et N$_{2}$ toutes indiscernables au toucher.

Un jeu consiste à tirer jeux boules successivement, sans remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant un arbre on un tableau, déterminer les $20$~tirages possibles.

On admet par la suite que ces $20$~tirages sont équiprobables.
\item  Calculer la probabilité des évènements suivants : 
 
$A$ : \og tirer deux houles de même couleur \fg ;
 
$B$ : \og tirer au plus une boule noire \fg.

\item  Lots du tirage de deux boules :
\begin{itemize}
\item  la boule rouge obtenue fait gagner $3$~\euro,
\item  chaque boule blanche obtenue fait gagner $2$~\euro,
\item  chaque boule noire obtenue fait perdre $3$~\euro.
\end{itemize}

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à tout tirage de deux boules, associe le gain, en euros, du joueur (une perte est considérée comme un gain négatif).
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour $X$ ?
		\item  Écrire la loi de probabilité de $X$. 
		\item  Calculer la probabilité $P$ pour que le gain soit strictement positif. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est muni d'un  repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques.
 $2$~cm  sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^{-x}.\]

On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan
muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x^2\text{e}^{-x} - 2 x\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\Gamma)$ ?	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et
montrer que pour tout réel $x$ :
\[f'(x) = \left(- x^2 + 4x - 3\right)\text{e}^{-x}.\]
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. On donnera la valeur
exacte des extremums.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente ($T$) à la courbe $(\Gamma)$
	en son point A d'abscisse $0$.	
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$ et la tangente ($T$).	
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à l'équation $f(x) = \dfrac{1}{8}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant le tableau de variations de la fonction $f$, justifier
que cette équation admet trois solutions dans $\R$ et que l'une des
solutions notée $\alpha$ appartient à l'intervalle [1 ; 3].
\item  à l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement  d'amplitude $0,1$ de la solution $\alpha$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[H(x) = x^2\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction   $H$ sur $\R$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$  sur $\R$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x.$
\end{enumerate}
\end{document}