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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI La Réunion juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4,5 points}

\medskip

$\C$ est l'ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation :

\[z^2 - 4z+16 = 0.\]

\item On considère les nombres complexes :

\[ z_{1} = 2+2\text{i}\sqrt{3} \quad  \text{et}\quad z_{2} =  2 - 2\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$.
		\item écrire $z_{1}$, puis $z_{2}$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $1$~cm.

On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points M$_{1}$, et M$_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que le point M$_{2}$ est l'image du point M$_{1}$ par la rotation $r$.
		\item On appelle M$_{3}$ le point image du point M$_{2}$ par la rotation $r$.
		
Calculer l'affixe $z_{3}$ du point M$_{3}$.

Placer le point M$_{3}$ dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que le triangle M$_{1}$ M$_{2}$M$_{3}$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que les nombres complexes $\left(z_{1}\right)^6$ et	$\dfrac{\left(z_{1}\right)^4}{\left(z_{2}\right)^2}$	sont des entiers naturels.

On utilisera la forme de $z_{1}$ et $z_{2}$ la plus adaptée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4,5 points}

\medskip

\textbf{I.} On considère l'équation différentielle :

\[(\text{E}_{0})\quad : \quad y^{\prime\prime} + 4y = 0\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E$_{0}$).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E$_{0}$) vérifiant :

\[f(0) = \sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  f^{\prime}(0) = 2\]
	
 où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Montrer que pour tout réel $t,~ f(t)$ peut s'écrire sous la forme :
\[f(t) = 2\cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right).\]
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{enumerate}

\textbf{II.} On considère maintenant l'équation différentielle :

\[(\text{E}_{1})\quad : \quad y^{\prime\prime} + 4y = 3 \sin t\]
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que si une fonction $g$ est solution de l'équation (E$_{0}$), alors la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(t) = g(t) + \sin t$ est solution de l'équation (E$_{1}$).
\item Donner une solution particulière, ne s'annulant pas pour $t = 0$, de l'équation (E$_{1}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Sur la feuille annexe, \textbf{qui doit être remise avec la copie}, on donne, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.

\bigskip

\textbf{Partie A : détermination de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

On suppose que la courbe passe par le point A de coordonnées $\left(3~;~-\dfrac{7}{2} +3\ln 2\right)$.

La droite D d'équation $x =  2$ est une asymptote verticale \^a la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur exacte de $f(3)$ ?
\item Donner sans justification la limite de la fonction $f$ en 2.
\item On suppose que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]2~;~+\infty[,$

\[f(x) = ax - 5 +3 \ln (x - 1) -3 \ln (x -2).\]

En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombre $a$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

On admet que la fonction  $f$ est définie sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 +  3\ln (x - 1) - 3\ln (x - 2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver par le calcul la limite de la fonction $f$ en $2$.
		\item Montrer que, pour tout x réel de l'intervalle $]2 + \infty[$
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 + 3 \ln \left(\dfrac{x - 1}{x - 2}\right).\]

		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 5$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$. Tracer $\Delta$ sur la feuille annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]2~;~ + \infty[$
	
\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 4}{2(x - 1)(x - 2)}.\]
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [2,1~;~3] et une solution unique $\beta$ dans l'intervalle [9~;~ 10].
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de chacune des solutions $\alpha$ et $\beta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$ par
 
\[h(x) =  \ln \left(\dfrac{x - 1}{x - 2}\right)\quad  \text{et} \quad  H(x) = (x - 1) \ln(x - 1) - (x - 2)\ln (x - 2).\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique de la feuille annexe.
		\item On note $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. Exprimer $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

Courbe de la fonction $f$

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.706cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(16,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-5)(16,6)
\psset{dotsize=10pt 0}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-5)(16,6)
\psline[linewidth=1.5pt](2,-5)(2,6) \uput[r](2,-4.5){D}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{2.04}{16}{x 2 div x 1 sub x 2 sub div ln 3 mul add 5 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 