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% Tapuscrit Olivier Reboux
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2012~\decofourright\\ Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
 
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'écriture exponentielle de $- 2 + 2\text{i}$ est: 
	\begin{enumerate}
		\item $-2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$
		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item La transformation qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe 
$z'  = z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item La rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$
		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\dfrac{\sqrt{2}}{2}  - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
		\item La rotation de centre O et d'angle  $- \dfrac{\pi}{4}$ 
		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe  $- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
	\end{enumerate}		 
\item Soient A, B, C et D les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1 + \text{i},  z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i}, z_{\text{C}} = 4$ et $z_{\text{D}} = 2 + 3\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont le même module 
		\item O appartient au cercle de diamètre [BD] 
		\item A appartient à la médiatrice du segment (BC] 
		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ ont des modules opposés
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$ où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Une fonction $f$ solution de cette équation est définie par : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 3$ 
		\item $f(x) = \sin (3x)$ 
		\item $f(x) = \text{e}^{3x}$ 
		\item $f(x) = x^2 - 4$ 
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y^{\prime} + 2y = 0$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels. La représentation graphique d'une solution de cette équation différentielle dans un repère orthonormal est : 
	\begin{enumerate}
		\item~ 
		
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.99,-2.99)(2.99,2.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-0.5}{1.5}{4 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}
		\item~ 
		
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-0.99)(2.99,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-0.7}{2.5}{2.71828 x neg exp}
\end{pspicture*}
		\item ~
		
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(6.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.5)(6.5,1.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-1.5}{6.5}{180 x mul 3.141 div cos}
\end{pspicture*}
		\item ~ 
		
\begin{pspicture*}(-3,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-2.5}{4.5}{x 1 sub dup mul 0.5 neg  mul 3.5 add}
\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Émile possède quatre pièces de monnaie, une pièce de 2 \euro, une pièce de 1 \euro{} et deux pièces de 0,50\euro{} et de quatre gobelets d'apparence identique. Sous chacun de ces gobelets, il place exactement une pièce de monnaie.
 
Il demande à son camarade Robert de soulever au hasard un gobelet puis un deuxième.
 
Il note alors la valeur de la pièce placée sous le premier gobelet soulevé puis la valeur de la pièce placée sous le second gobelet soulevé.
 
Chaque issue de cette expérience aléatoire est donc un couple de nombres. Par exemple, (1~;~0,5) est le couple obtenu en découvrant d'abord la pièce de 1 \euro{} et ensuite une pièce de 0,50 \euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, déterminer tous les tirages possibles. 
\item On admet que toutes les issues sont équiprobables. 

On note A l'évènement : \og Les deux pièces découvertes par Robert ont des valeurs différentes \fg. 

Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale $\dfrac{5}{6}$.  
\item On définit la variable aléatoire $S$ qui, à chaque issue, associe la somme des valeurs indiquées sur les deux pièces découvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $S$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de $S$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $S$. Interpréter ce nombre.
	\end{enumerate} 
\item Robert découvre deux pièces au hasard comme indiqué auparavant. On note B l'évènement : \og Robert a assez d'argent en main pour acheter un magazine à 1,30 \euro{} \fg. Déterminer la probabilité de l'évènement B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A : Étude graphique d'une inéquation}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe représentant la fonction logarithme népérien et la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$ dans un repère orthogonal \Oij. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(12,9)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-4,-3)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{x dup mul 2 div 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.07}{12}{x ln}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique, expliquer pourquoi on peut conjecturer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, 

\[\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x > 0.\] 

\textbf{Ce résultat est admis dans la suite du problème.}

\medskip

\textbf{Partie B : Calculatrice et conjectures}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
 
 \[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan, $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$  les droites d'équations respectives $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ et 

$y = \dfrac{3}{2}x - 2$. 

La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta_{1}$ ont été représentées à l'aide d'un grapheur. Le graphique obtenu est donné en annexe. Cette annexe est à compléter et à rendre avec la copie.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe, tracer la droite $\Delta_{2}$. 
\item À l'aide du graphique, conjecturer les réponses aux questions posées ci-dessous : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ ? 
		\item Quelles sont les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $0$ ? 
		\item Que représente la droite $\Delta_{1}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Vérification des conjectures}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de démontrer les conjectures émises dans la partie précédente. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ puis en $0$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif. 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f^{\prime}(x) =  \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x \right)$. 
		\item À l'aide de la partie A, étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\right]$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la droite $\Delta_{1}$ ? 
		\item Étudier la position relative de la droite $\Delta_{1}$ et de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Démontrer la conjecture émise quant à ce que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe  $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $G$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par 

\[G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\] 

Montrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique fourni en annexe. 
\end{enumerate} 

\begin{landscape}
\begin{center}
 
 
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(21,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-5)(19,8.5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-5)(18.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[u](5.5,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](7.5,2.8){$\Delta_{1}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.5}{18.5}{0.5 x mul 1 sub}
\rput{-90}(20.5,1.75){\textbf{ANNEXE}}
\rput{-90}(19.5,1.75){\textbf{À rendre avec la copie}}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\psline(4,1)(2,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{18.5}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}