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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 1999~\decofourright\\[4pt]Génie électronique} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
\parbox{0,48\linewidth}{Un circuit comprend en série un générateur de force électromotrice E, une bobine d'inductance L et une résis- 
tance R.
 
L'intensité du courant électrique $i$, exprimée en ampères, est fonction du temps $t$, exprimé en secondes, et est solution de l'équation différentielle (1) :} \hfill
\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(5,3.5)
\pnode(0,0){A}\pnode(5,0){B}\pnode(5,3){C}\pnode(0,3){D}
\resistor(A)(D){E} \coil(A)(B){L}\resistor(B)(C){R}\wire(C)(D) 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\[\text{L}i'(t) + \text{R} i(t) = \text{E}.\]

On donne L = 0,2~H ; R $= 100~\Omega$ ; E = 10~V. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation différentielle (1) en remplaçant L, R et E par leurs valeurs.
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $\dfrac{1}{5}y' + 100y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(t) = - \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 500t} + \dfrac{1}{10}$ est solution de l'équation différentielle (1).
\item Étudier sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ les variations de la fonction $i$ définie à la question 3.
 
Dresser le tableau de variations de $i$ sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ ;  préciser la limite de $i$ en $+ \infty$. 
\item  Déterminer par le calcul l'instant $t_{1} $ à partir duquel l'intensité $i(t)$ sera supérieure à $0,095$~A.
 
En donner la valeur exacte puis la valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près par excès. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit A le point d'affixe: $z_{\text{A}} = 1 - \text{i} \sqrt{3}$.

Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z_{\text{A}}$. Placer le point A avec précision dans le repère \Ouv. 
\item  Soit B l'image du point A par la rotation de centre 0 et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
 
Calculer $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
 
Placer le point B avec précision dans le repère \Ouv.
\item Quelle est la nature du triangle AOB ? 
\item Soit C l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $z_{\text{C}}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C avec précision dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Montrer que $z_{\text{C}} = z_{\text{A}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$· En déduire une forme algébrique de $z_{\text{C}}$.
		\item  Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$  et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\parbox{0.55\linewidth}{La figure ci-contre représente la voile d'un bateau constituée par la réunion des parties P et T. Les distances sont exprimées en dm et le repère est orthonormal.
 
La Courbe $\Gamma$ représente la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
$g(x) = x + \dfrac{\np{5000}x}{x^2 + \np{2500}}$. La droite $\Delta$
a pour équation $y = x$.}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.0295cm}
\begin{pspicture}(-20,-20)(170,130)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{80}{5000 x mul x dup mul 2500 add div x add}
\psline(80,80)(0,0)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(170,130)
\psline(130,130)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{80}{5000 x mul x dup mul 2500 add div x add}
\psline(80,0)(80,124.94)
\uput[d](80,0){$a$} \uput[dr](80,080){B}\uput[ur](80,0){A}\uput[ur](80,125){C}\uput[dr](130,130){$\Delta$}
\rput(50,70){P} \rput(50,25){T}\rput(50,110){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}}

\medskip

$a$ étant un nombre appartenant à l'intervalle $[50~;~100]$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  P est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x~;~ y)$ vérifient $0 \leqslant  x \leqslant a$ 
et $x \leqslant y \leqslant g(x)$ ; 
\item[$\bullet~$] T est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x~;~ y)$ vérifient $0 \leqslant  x \leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant x$. La droite $d$ d'équation $x = a$ coupe l'axe des abscisses, la droite $\Delta$ et la courbe $\Gamma$ respectivement aux points A, B et C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le but du problème est de déterminer, si elle existe, la valeur de $a$ pour laquelle les aires de P et de T sont égales.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - x$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$. Que représente la droite $\Delta$ pour la courbe $\Gamma$ ? 
\item  En utilisant le signe de $h(x)$ étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On rappelle que la fonction $h$ est définie par: $h(x) = \dfrac{\np{5000}x}{x^2 + \np{2500}}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $H$ de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie P est :
 
\[\mathcal{A}(a) = \np{2500}\left[\ln \left(a^2 + \np{2500}\right) - \ln \np{2500}\right].\]
 
\item  Calculer, en fonction de $a$, l'aire $\mathcal{B}(a)$ de la partie T. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = \np{2500} \ln \left(x^2 + \np{2500}\right) - \np{2500} \ln \np{2500} - \dfrac{1}{2} x^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. (on admettra que la limite en $+\infty$ de $f$ est $- \infty$.) 
		\item Dans le repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 1~cm pour 10~ dm sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~ dm$^2$ sur l'axe des ordonnées), construire la représentation graphique de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que sur l'intervalle $[50~;~100]$ l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution, notée $\alpha$. Déterminer un intervalle d'amplitude $10^{-1}$ contenant le réel $\alpha$. 

		\item Quelle est l'interprétation géométrique de ce nombre $\alpha$ ? 
		\item Déterminer alors une valeur décimale approchée de l'aire de chacune des parties P et T en prenant 79,3 comme valeur décimale approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}