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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
%
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 22 juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique\\ }}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z) = z^3 - 27$, où $z$ désigne un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(z) = (z-3)\left(z^2 + 3z + 9\right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
		
$P(z) = 0$.
		\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
 
\[z_{\text{A}} = 3, \quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. 
		\item Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
	\end{enumerate} 
\item Le point D est l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{D}}$ l'affixe du point D.
 
Montrer que $z_{\text{D}} = -3$, puis placer le point D sur la figure précédente. 
\item Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $|z + 3| = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points O, B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{F}$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
L'ensemble $\mathcal{F}$ est l'image du cercle $\Gamma$ par certaines transformations du plan.

En citer une et préciser ses éléments caractéristiques. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Deux machines A et B produisent un même type de pièce. On a prélevé \np{3000} unités sortant de la machine A et \np{2000} de la machine B.
 
Ces pièces peuvent présenter deux types de défauts: un défaut de couleur, noté C, et un défaut de taille, noté T.
 
Pour la machine A, 2\:\% des pièces présentent uniquement le défaut C, 5\:\% uniquement le défaut T et 1\:\% les deux défauts.
 
Pour la machine B, 3\:\% présentent le seul défaut C, 4\:\% le seul défaut T et 2\:\% les deux défauts.
 
On pourra éventuellement se servir du tableau ci-dessous 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&C seul &T seul &C et T	&ni C ni T 	&Total\\ \hline 
A		&		&		& 30	&			&\np{3000}\\ \hline 
B		&60 	&		&		&			&\np{2000}\\ \hline 
Total	&		&		&		&			&\np{5000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On prend au hasard une pièce parmi les \np{5000} prélevées; toutes les pièces ont la même chance d'être choisies.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que la pièce soit fabriquée par la machine A est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{5}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{5}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité que la pièce présente uniquement le défaut C est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$0,024$&\textbf{b.}~~$0,02$&\textbf{c.}~~$0,03$&\textbf{d.}~~$120$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité que la pièce présente le défaut T est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$\dfrac{23}{500}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{50}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{7}{500}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{20}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité que la pièce présente au moins l'un des deux défauts est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$0,014$&\textbf{b.}~~$0,06$&\textbf{c.}~~$0,038$&\textbf{d.}~~$0,084$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'entreprise décide de commercialiser les \np{5000} pièces prélevées :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les pièces présentant les deux défauts sont invendables et sont détruites ; 
\item[$\bullet~$] les pièces présentant uniquement un défaut de taille sont bradées au prix de 10~\euro{} chacune; 
\item[$\bullet~$] celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25~\euro{} chacune ; 
\item[$\bullet~$] enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30~\euro{} chacune.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sachant que le coût de fabrication d'une pièce est de 10~\euro{}, on considère la variable aléatoire $X$ égale au bénéfice fait par l'entreprise sur chaque pièce, exprimé en euros. 
\item L'entreprise peut espérer un bénéfice moyen, exprimé en euros, de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a}~~$18,68$&\textbf{b}~~$18,54$&\textbf{c}~~$18,89 $&\textbf{d}~~$18,75$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

\medskip
 
\parbox{0.52\linewidth}{La courbe ci-contre est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $\R$ par :
 
$g(x) = x^3 - x^2 + ax + b$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
 
On suppose $g$ strictement croissante sur $\R$.

Cette courbe coupe les axes de coordonnées 
aux points A(1~;~0) et B$(0~;~- 2)$.
 
La droite en pointillés est la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Elle coupe l'axe des ordonnées au point C$(0~;~- 3)$. 
\begin{enumerate}
\item Lire $g(1)$ sur le graphique.
 
En déduire une relation entre $a$ et $b$. 
\item Donner la valeur de $g'(1)$.
 
Écrire alors une relation vérifiée par $a$. 
\item À l'aide des deux premières questions, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. 
\item Donner le signe de $g(x)$ sur $\R$. 
\end{enumerate}}
\hfill  \parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt](-2,-4)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-0.53}{1.55}{x 3 exp x dup mul sub 2 x mul add 2 sub}
\psplot[linestyle=dashed]{-0.166}{1.667}{3 x mul 3 sub}

\end{pspicture*}}

\medskip

\emph{Dans la suite, on admettra que :} $g(x) = x^3 - x^2 + 2x - 2$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère maintenant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :

\[f(x) = 4\ln x + x^2 - 2x + 1 + \dfrac{4}{x}.\]
  
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère \Oij{} du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 

En remarquant que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$,

$f(x) = \dfrac{1}{x}\left(4x\ln x + x^3 - 2x^2 + x + 4\right)$, 
déterminer la limite de la fonction $f$ en zéro et interpréter graphiquement le résultat. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$ où $g$ est la fonction définie dans  la partie A.
 
En déduire le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : position relative de deux courbes}

\medskip
 
Dans la question 1. on demande de conjecturer des résultats à partir de la calculatrice ; dans la question 2. on demande de prouver ces résultats.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, ainsi que l'hyperbole $\Gamma$ d'équation $y = \dfrac{4}{x}$. 

 Les résultats attendus dans cette question seront obtenus à partir de la lecture d'écran. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée. 
		\item Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ semblent avoir un point commun. Donner ses coordonnées. 
		\item Préciser la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $d$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :
 
\[d(x) = f(x) - \dfrac{4}{x}.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question précédente, proposer une solution de l'équation $d(x) = 0$ et, à l'aide d'un calcul, opérer une vérification. 
		\item Calculer $d'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $d$. 
		\item En déduire le signe de $d(x)$ sur l'intervalle $]0~;~5]$. 
		\item La position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$ précisée à la question 1. c. est-elle confirmée ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par : $H(x) = x\ln x - x$.
 
Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0~;~5]$. 
\item Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. Le résultat sera donné en unités d'aire. 
\end{enumerate}
\end{document}