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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électrotechnique, électronique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électrotechnique, électronique, optique } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un test d'aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de 
quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, deux réponses 
sont proposées dont une et une seule est correcte.

Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc 
l'équiprobabilité des réponses).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On note V une réponse correcte et F une réponse 
incorrecte : VFFV signifie que la première et la quatrième réponse 
sont correctes et la deuxième et la troisième sont incorrectes.

Établir la liste des seize résultats possibles (que l'on 
pourra présenter à l'aide d'un arbre).
\item Quelle est la probabilité pour que le candidat 
donne la bonne réponse :
	\begin{enumerate} 
		\item à la première question posée ?
		\item à une seule des questions posées ?
		\item aux quatre questions posées ?
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre 
de réponses correctes données par le candidat.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les différentes valeurs prises par $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Un candidat sera reconnu apte s'il donne au 
moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu'un 
candidat  répondant au hasard soit reconnu apte ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.\\
On considère les nombres complexes $z_{\text{A}} =  5 - 
5\text{i}$ et $z_{\text{B}}$ de module égal à $5\sqrt{2}$ et d'argument
égal à $- \dfrac{7\pi}{12}$, d'images respectives A et B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Placer le point A.
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ définie 
par $f(z) = z\text{e}^{- \text{i} \frac{\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la transformation géométrique associée à $f$.
		\item Montrer par le calcul que $f\left(z_{\text{A}}\right) = z_{\text{B}}$.
		\item En déduire la construction de B (on laissera les traits de la 
construction).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $\text{e}^{- \text{i} \frac{\pi}{3}}$
sous forme algébrique.
		\item Calculer $f\left(z_{\text{A}}\right)$ sous forme algébrique.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{- 7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{- 7\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\centerline{\textbf{Les trois parties du problème peuvent être traitées 
séparément.}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Exploitation d'un graphique}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$, dont la représentation  graphique $(\mathcal{C})$ obtenue sur l'écran d'une calculatrice est donnée sur la figure (1) ci-dessous.

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-1)(10,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0,1)(10,1)
\uput[r](10,1){$\Delta$} \uput[r](10,0.4){\blue $(\mathcal{C})$} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{.397}{10}{3 4 x mul sub x dup mul add x dup mul div}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,4cm}

On précise que la courbe $(\mathcal{C})$ ne coupe l'axe des abscisses qu'en deux points et qu'elle admet l'axe des ordonnées et la droite $(\Delta)$ qui est parallèle à l'axe des abscisses comme asymptotes :

\textbf{I} À partir de cette représentation graphique :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ ;
		\item la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
	\end{enumerate}
\item dresser un tableau donnant le signe de $g(x)$ lorsque 
$x$ décrit l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
		
\textbf{II}	On admet que : $g(x) = \dfrac{ax^2 + bx + 
c}{x^2}$  où $a,~ b$ et $c$ sont trois nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En calculant la limite de $\dfrac{ax^2 + bx + 
c}{x^2}$ lorsque $x$ tend vers l'infini, montrer que $a = 1$.
\item Lire $g(1)$ et $g(3)$ sur le graphique et en déduire un système de deux équations permettant d'obtenir $b$ et $c$.
\item Résoudre ce système et exprimer $g(x)$ en 
remplaçant $a,~ b$ et $c$ par leurs valeurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$	par :

\[f(x) = - \dfrac{3}{x} -  4 \ln x + x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En mettant $x$ en facteur  dans l'expression de  $f(x)$, montrer que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $+ \infty$.
		\item En mettant $\dfrac{1}{x}$ en facteur dans l'expression de 
$f(x)$, montrer que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 est égale 
à $- \infty$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} (x \ln x) = 0.$)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = g(x)$.
		\item Utiliser les résultats de la \textbf{partie A} pour en déduire 
le tableau de variation de $f$.
		\item Calculer les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II} En utilisant le tableau de variations de $f$, justifier 
que l'équation $f(x) = 0$

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item n'admet pas de solution dans l'intervalle $]0~;~3[$,
		\item admet une solution unique, notée $x_{0}$ dans l'intervalle $[3~;~10]$,
		\item n'admet pas de solution dans l'intervalle $]10~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau (document à rendre avec votre copie) et en déduire un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $x_{0}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(\sqrt{3}) = - 2 \ln 3$ (détailler les calculs sur votre copie).
\item Le tracé de la courbe $(\mathcal{C})$ représentant $g$ dans un repère orthogonal \Oij{}  est donné sur la figure (2). (Document à rendre avec votre copie).
	\begin{enumerate} 
		\item Soit D le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $(\mathcal{C})$ d'une part et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = 3$ d'autre part. 	

Calculer la valeur exacte de son aire A exprimée en unités d'aires. (On 
rappelle que $g = f'$).
		\item Tracer la droite (L) d'équation $x = \sqrt{3}$ et montrer 
qu'elle partage le domaine D en deux domaines d'aires égales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\shadowbox{\textbf{DOCUMENT À RENDRE AVEC LA COPIE}}
    
\textbf{Tableau à compléter (partie B 2)}
    
\[\begin{array}{| *{12}{c|}}\hline
x 		&9,15 	&9,16 	&9,17 	&9,18 	&9,19 	&9,20 	&9,21 	&9,22 	&9,23 	&9,24 	&9,25\\ \hline
f(x)	&		&		&		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{array}\]
    
\vspace{0,8cm}

\textbf{Figure 2}

\vspace{0,4cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{.646}{4}{3 4 x mul sub x dup mul add x dup mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}