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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm, placer les points A et B images respectives des nombres complexes $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où  $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$.
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r> 0$ et $\theta$ réel.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.
		\item En déduire que  $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et interpréter géométriquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On pose : $z'= z - 2 + \text{i}\sqrt{3}$. On  note T la transformation géométrique du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Caractériser cette transformation T.
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{D}}$ de l'image D du point A par cette transformation.
		\item Calculer l'affixe du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
		\item Compléter la figure en plaçant C et D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Soient I et J les intégrales définies par :

\[\text{I} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^{-x} \sin 
x\:\text{d}x \qquad  \text{et} \qquad  \text{J} = 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^{-x} \cos x\:\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ et $u$ les fonctions définies sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x)= \text{e}^{-x}(\cos x - \sin x) \qquad \text{et} \qquad  u(x) = 
\text{e}^{-x} \sin x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $u$ est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale K $= 
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction  dérivée de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale J.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une relation entre I, J et K.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 + x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité : $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$en $+ \infty$.
		\item En remarquant que :

\[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)x^2 \text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

et en admettant que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
\left(x^2\text{e}^{\frac{x}{2}}\right) = 0$, déterminer la limite de $f$ 
en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour ($\mathcal{C}$) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$. Montrer que :
	
\[f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(x^2 + 5x + 4\right)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$.

En déduire le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (D), tangente à ($\mathcal{C}$) en son point d'abscisse $- 2$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&$- 7$	&$- 6$	&$- 5$	&$- 4$	&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	&0	&0,5	&	1\\ \hline
$f(x)$	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 	& 		&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec deux décimales.

Représenter (D) puis ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[g(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{\frac{x}{2}},\]

où $a,~b$ et $c$ sont des constantes réelles.

Calculer $g'(x)$. Déterminer les nombres $a,~ b$ et $c$ pour que $g$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[-4~;~ 0]$.
\end{enumerate}
\end{document}