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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\decofourleft~\Large\textbf{Baccalauréat STI La Réunion  septembre 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique électrotechnique, optique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans l'urne A sont disposées 3 boules jaunes portant les indications  + 3 ; $-3$ ;  1.

Dans l'urne B sont disposées 3 boules vertes portant les  indications + 3i  ; $- 3\text{i}$ ; i.

On tire une boule jaune puis une boule verte ; cela permet d'obtenir un nombre complexe $z$.

(Par exemple si on tire la boule jaune marquée 3 puis la boule verte marquée, i, le résultat est le nombre complexe $z = 3 + \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quels sont les différents résultats possibles ?

On suppose dans tout, la suite que chacun de ces résultats a la même probabilité d'être obtenu.
\item  Quelle est la probabilité $p_{1}$ que le nombre complexe obtenu ait un module égal à $3\sqrt{2}$.
\item  Soit les quatre tirages $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$,de module $3\sqrt{2}$ et A, B, C et D les points d'affixes correspondantes.

Représenter sur votre copie ces quatre points dans un plan
muni  d'un repère orthonormal (unité graphique $2$~cm) et montrer que A, B, C et D sont les sommets d'un carré.
\item  On gagne la somme $S$, en euros, égale au carré du module du nombre complexe obtenu. Par exemple si le complexe obtenu est $z = 3 + \text{i}$ alors 
$|z|^{2 } = 10$ et la somme $S$ est $10$~euros.

Quelle est la loi de probabilité de $S$ et quelle est l'espérance de gain au cours d'une partie ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour
résoudre cet exercice}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,1)
\psset{coilarm=.01}
\rput(0,0.5){\rnode{A}{}}
\rput(10,0.5){\rnode{M}{}}
\nccoil{A}{M}
\psline(10,0.5)(12,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(10,0.5)(11,0.5)
\uput[d](10.5,0.5){O} \uput[u](11,0.5){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){A} \uput[ur](10,0.5){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe A. On attache un mobile à son autre extrémité M.

On admet que l'abscisse du point M dans le repère \Oij{} vérifie l'équation différentielle du second ordre (E)
 $\quad  y'' + 9y = 8\sin t$,  où $y$ est une fonction du temps $t$ (variable réelle  positive).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)  : y'' + 9y  = 0$.
\item  Montrer que la fonction g définie sur $[0, + \infty[$ par

\[g(t) = A.\cos 3t + B.\sin  3t + \sin t \quad  (A~ \text{et}~ B~ \text{réels})\]

est une solution de l'équation différentielle (E).
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le ressort étant compressé, le mobile passe en O avec une vitesse de 4 m.s$^{-1}$.

On considère la fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$  par :

\[h(t) = A. \cos 3t + B.\sin 3t + \sin t.\]
 
Déterminer A et B pour  que $h$ soit la solution de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : $h(0) =  0$  et $h'(0) = 4$.
\item On admet dans cette question que :

\[\sin 3t = -4 \sin^3 t + 3 \sin t.\]

Chercher les instants $t$ où le mobile repasse par le point de départ, c'est-à-dire résoudre dans l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ l'équation $h(t) =  0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, $\Gamma$ est la courbe représentative dans
le repère orthonormal \Oij{} d'une fonction $f$ définie sur $\R$
(figure 1).

On suppose que

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $f$ est dérivable sur $\R$ et strictement monotone sur les intervalles $]- \infty~;~0]$ et  $[0~;~+ \infty[$,
\item[$\bullet~$] $f'(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$.
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ passe par les points A$(- 1~;~ 0)$ et B$(0~;~-1)$.
\item[$\bullet~$] la droite d'équation $y = - 1$ est tangente à la courbe $\Gamma$ au point B.
\item[$\bullet~$] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x) = + \infty$, 
\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses est asymptote à la courbe lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,4)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1.717}{5}{x 1 add  2.71828 x exp div neg}
\uput[dl](-1.6,3){\blue $\Gamma$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Première partie :  travaux sur }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\textbf{A. Gestion des données}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelles  sont les valeurs numériques de  $f(0)$, de $f(-1)$ et de $f'(0)$ ? Justifier votre réponse.
\item  Quelle est la limite de $f$ en $+ \infty$. Justifier votre réponse.
\item  Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\item  Donner le signe des nombres dérivés  $f'(-2)$ et $f'(3)$ en
justifiant votre réponse.
\item  Résoudre dans $\R$

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  l'équation $f(x) = 0$,
\item  l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Détermination de l'expression de }\boldmath $f(x)$ \unboldmath 

\medskip

On suppose que $f(x) =  (ax + b)\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux
constantes réelles, et $x$ la variable réelle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel en fonction de $a$ et de $b$.
\item En utilisant la question A. 1. précédente, déterminer les valeurs de $a$ et de $b$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie :  travaux sur une primitive de \boldmath $f$ \unboldmath sur \boldmath $\R$ \unboldmath}

\medskip

\textbf{A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner le signe de $f$ d'après la courbe $\Gamma$ donnée par la figure 1.
\item  Justifier pourquoi, parmi les courbes proposées sur l'annexe, les courbes $\mathcal{C}_{G}$ et $\mathcal{C}_{H}$, ne peuvent pas représenter une primitive de $f$ sur $\R$.

(On appelle $F$ une primitive de $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{F}$ est également tracée sur l'annexe (figure 2).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{F}$ en son point d'abscisse $0$.
\item Déterminer (sans chercher l'expression de $F(x)$ en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) de la portion du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  - 1$ et $x = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Troisième partie :  étude de la fonction \boldmath $F$ \unboldmath sur  \boldmath $\R$ \unboldmath}

\medskip

On suppose désormais que, pour tout $x$ réel, $F(x) = (x + 2 )\text{e}^{-x}$.
\textbf{A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $F'(x)$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  F(x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ réel on a $F(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}  + \dfrac{2}{\text{e}^{-x}}.$
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  F(x)$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} On se propose dans cette question de déterminer les points
d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = 3x + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $(x + 2)\left(\text{e}^{x} - 3\right) = 0$.
\item  En déduire les coordonnées des points recherchés.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput(0,4.55){\textbf{Annexe}}
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.375}{5}{x 2 add  2.71828 x exp div }
\uput[dl](-1.6,3){\blue $\mathcal{C}_{F}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe(0.4,-4)(2.25,-1)
\rput(1.2,-1.5){$F(-1) = \text{e}$}
\rput(1.2,-2.5){$F(0) = 2$}
\rput(1.25,-3.5){$F(2) = 4\text{e}^{-2}$}
\uput[u](5,0){$x$}
\uput[l](0,4){$y$}
\rput(0,-4.5){Figure 2 : fonction $F$}
\end{pspicture}

\vspace{1,5cm}

\begin{pspicture}(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-4)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.9}{5}{2.71828 x neg  exp 2.71828 sub}
\uput[dl](-2,3){\blue $\mathcal{C}_{G}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe(-4,-4)(-1.4,-1)
\rput(-3.,-1.5){$G(-1) = 0$}
\rput(-3.,-2.5){$F(0) = 1 - \text{e}$}
\rput(-2.8,-3.5){$G(2) = \text{e}^{-2} - \text{e}$}
\rput(0,-4.5){Figure 3 : fonction $G$}
\uput[u](5,0){$x$}
\uput[l](0,4){$y$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-4)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.2}{5}{x  2.71828 x exp div}
\uput[dl](2,0.8){\blue $\mathcal{C}_{H}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe(0.4,-4)(2.3,-1)
\rput(1.4,-1.5){$H(-1) = -\text{e}$}
\rput(1.3,-2.5){$H(0) = 0$}
\rput(1.3,-3.5){$H(2) = 2\text{e}^{-2}$}
\rput(0,-4.5){Figure 4 : fonction $H$}
\uput[u](5,0){$x$}
\uput[l](0,4){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 