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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI génie électronique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 13 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou une absence de réponse vaut $0$ point. 

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 

Recopier sur la copie cette réponse exacte.

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On note i le nombre complexe de
module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ avec: 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe $z_{\text{A}}$ est solution de l'équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.}~~ $\text{i}z - \sqrt{2}  - \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{b.}~~ $ \text{i}z -\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{c.}~~$\text{i}z + \sqrt{2}  + \text{i}\sqrt{2} = 0$
\end{tabularx}
\medskip 

\item Le nombre complexe $z_{\text{B}}$ est solution de l'équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.}~~ $z^2 - 2z + 4 = 0$&\textbf{b.}~~ $z^2 + 2z + 4 = 0$&\textbf{c.}~~ $ 
 z^2 - 2z - 4 = 0$
 \end{tabularx}
 \medskip
  
\item L'écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{B}}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.}~~ $2\text{e}^{- \frac{\pi}{6}\text{i}}$&\textbf{b.}~~ $2\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$&\textbf{b.}~~$\sqrt{2}\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$
 \end{tabularx}
 \medskip
 
\item Le triangle OAB est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
\textbf{a.}~~  équilatéral& \textbf{b.}~~ rectangle et isocèle& \textbf{c.}~~  isocèle
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit C le point d'affixe $- 2\text{i}$.
 
Le point C est l'image du point B par la rotation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point d'affixe $z'$ tel que: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
\textbf{a.}~~$z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z' = z + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z'' = z \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
On interroge \np{2000}~ personnes qui possèdent un téléphone portable. On leur demande quel est leur opérateur de téléphonie et quelle est la durée mensuelle de communication de leur forfait. On consigne les résultats dans un fichier. L'analyse de ce fichier permet d'obtenir les résultats suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$1/2$ heure &1 heure &2 heures\\ \hline 
Opérateur A &100 &500 &300\\ \hline  
Opérateur B &40 &100 &160\\ \hline  
Opérateur C &300 &300 &200\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

On choisit au hasard le nom d'une personne dans le fichier. On suppose que chaque nom a la même chance d'être choisi.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants :
 
$E$ : \og le nom choisi est celui d'une personne cliente de l'opérateur C \fg.
 
$F$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure chez l'opérateur C \fg.
 
$G$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure ou qui a opté pour l'opérateur C \fg.
 
$H$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une durée d'au moins une heure \fg.
\item Soit $X$ Ia variable aléatoire qui à chaque client associe la durée, exprimée en heure, de son forfait. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Quelle est l'espérance mathématique de cette variable aléatoire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip 

Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 \ln x - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x\]

On désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 2x \ln x - 2x + 2 .\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.
 
Établir que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g'(x) = 2\ln x$. 
\item En déduire que la fonction $g$ possède un minimum. Préciser la valeur de ce minimum.
\item Démontrer alors que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \ln x = 0$. 
		
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 

		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : $f(x) =  x^2\left(\ln x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{x}\right).$ 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = g(x)$.
		\item En utilisant les résultats de la partie A, préciser les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, puis dresser son tableau de variations sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : position relative de deux courbes et calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y = x^2 \ln x$.
 
Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont tracées sur le document annexe à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(x) - x^2 \ln x = \dfrac{x}{2}(- 3x + 4)$. 
		\item Étudier le signe de $f(x) - x^2 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $a$ un réel appartenant à $\left]\dfrac{4}{3}~;~+ \infty \right[$.
 
La droite d'équation $x = a$ coupe la courbe $\Gamma$ en $M$ et la courbe $\mathcal{C}$ en $N$. 
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question uniquement, on choisit $a = 3$.
		 
Sur le graphique en annexe, placer les points $M$ et $N$, puis calculer la distance $MN$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Pour quelles valeurs du réel $a$ la distance $MN$ est-elle supérieure ou égale à $10$ ?
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre les courbes $\Gamma$, $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac{4}{3}$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer ce domaine sur le graphique annexe. 
		\item Calculer $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} 
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-1)(4.5,17)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(4.5,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3.54}{x dup mul x ln mul}
\uput[ul](2,3){\red $\mathcal{C}$}\uput[dr](3,2.5){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}