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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie juin 1999~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, génie électrotechnique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique sera égale à 4~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

 On désigne par $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions, $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative.
 
Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle.
\item Soit A le point d'affixe $z_{1}$ et B celui d'affixe $z_{2}$. Placer A et B et démontrer que le triangle AOB est équilatéral. 
\item Soit E le point d'affixe $z_{3} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$  et F son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
 
Déterminer l'affixe du point F et montrer que F est le milieu du segment [OB].  
\item Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vect{v}$. 

Déterminer l'affixe de D et montrer que OD = DB. En déduire que la droite (AD) est la médiatrice de [OB].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : 

\[y'' + 9y = 0.\]
 
\item Déterminer l'unique solution $f$ vérifiant 

\[f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = - 1\quad \text{et}\quad  f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sqrt{3}$. 
\item Écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = a \cos (3x - b)$ où le réel $a$ est strictement positif et le réel $b$ appartient à l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$ l'équation : 

\[2 \cos \left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1.\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip
	 
Spot la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A Étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.  Que peut-on en déduire pour la représentation graphique  ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = x(x - 2)\text{e}^{- x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Construire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[- 1~;~0]$. 

À l'aide de la calculatrice déterminer un encadrement de $\alpha$ 
d'amplitude	$10^{-2}$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $- 1$ puis construire la droite d'équation $y = 1$, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\textbf{Partie B Représentation graphique}

\medskip

Soit $\mathcal{P}$ la courbe représentative dans le repère \Oij{} de la fonction $g$  définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 1 - 2x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Construire $\mathcal{P}$ dans le repère précédent.
\item Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ se coupent en deux points A et B dont on déterminera les coordonnées.
\item Déterminer suivant les valeurs de $x$ la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C Calcul d'aire }

\medskip 

Soit $H$ la fonction définie définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par : 
 
\[H(x) = \dfrac{2}{3} x^3 + \text{e}^{- x}\left(x^2 + 2x + 2\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $H$ est une primitive de $f - g$. 
\item En déduire l'aire en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ et les droites d'équations $x = - \ln 2$ et $x = 0$. 

En donner la valeur arrondie au dixième. 
\end{enumerate}
\end{document}