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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie énergétique, civil, mécanique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2003 \decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
} 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,25cm}

La candidat traitera obligatoirement les deux exercices et 
le problème 

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la copie}

Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions simplifiées.

\medskip

Deux urnes contiennent chacune trois jetons indiscernables au toucher : la première contient trois jetons verts numérotés de $0$ à $2$ et la seconde trois jetons blancs numérotés de $0$ à $2$.

On tire au hasard un jeton dans la première urne et on note $a$ son numéro, puis un jeton dans la seconde urne et on note $b$ son numéro.
 
Le résultat d'un tirage est donc un couple $(a~;~b)$ et les tirages sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En complétant l'arbre donné en annexe, déterminer le nombre d'éventualités.
		\item  Quelle est la probabilité $P$ d'obtenir une somme $a + b$ multiple de $3$ ?
	\end{enumerate}
\item  à tout couple $(a ~;~ b)$ précédemment défini, on associe le nombre complexe $z$ écrit sous forme algébrique $z = a + \text{i}b$ où i est le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = -1$.

On note $|z|$ le module de $z$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité $P_{1}$ pour que $z$ soit réel ?
		\item  Quelle est la probabilité $P_{2}$ pour que $|z| = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout nombre complexe $z$ défini ci-dessus, associe son module.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau des valeurs de $X$ donné en annexe.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Déterminer la probabilité $P_{3}$ de l'évènement \og $|z| \leqslant  2$ \fg.
		\item  Déterminer l'arrondi au centième de l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E}) {}:\quad  16y'' + 25y = 0\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de (E) qui vérifie :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&\sqrt{3}\\
f'(0)& =&\dfrac{5}{4}\\
\end{array}\right.\]
\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = 2\cos \left(\dfrac{5}{4}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle	$\left[\dfrac{2\pi}{15}~;~\dfrac{4\pi}{15}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]-\infty~ ;~1[$ par :

\[ f(x) = ax^2 + bx + c + 2 \ln (1 - x)~ \text{où}~ a, b~ \text{et}~ c ~\text{sont des nombres réels.}\]

On note A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-1$.

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination de \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Déterminer $a,~ b,~ c$ de façon que les conditions suivantes soient remplies :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ passe par le point O et admet en ce point une tangente $\mathcal{C}$ de coefficient directeur $1$ ;
\item[$\bullet~$] la tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Dans toute la suite du problème on prend} \boldmath $f(x) = x^2 + 3x + 2\ln(1 - x)$ \unboldmath.

\medskip

\textbf{Partie B :  étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $1$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
\item 	Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $g$ définie sur $] - \infty~;~1[$ par $g(x) = x^2 + 3x$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
\item  On désigne par $f'$ la dérivée de $f$. Démontrer que $f'(x) = \dfrac{(1 - 2x)(x + 1)}{1 - x}$ pour tout nombre réel $x$ strictement inférieur à $1$.
\item  étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
		\item  On note $\alpha$ la solution appartenant à $]- \infty~;~- 1[$. Justifier que $\alpha$ appartient à $]-2~;~- 1,8[$.
	\end{enumerate}
\item Construire $\mathcal{D}$, $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soient $H$ et $h$ les fonctions définies sur $]- \infty~; 1[$  par :
\[H(x) = (x  - 1)\ln (1 - x) - x \quad 	\text{et} \quad 	h(x) = \ln (1 - 	x).\]
Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $]- \infty~; 1[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]- \infty~; 1[$.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$.

On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}}
	  { 
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }	
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau des valeurs de X}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{b}{a}	&0	&1	&2\\ \hline
$0$				&	&	&\\ \hline
$1$				&	&	&\\ \hline
$2$				&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}