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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique   2~centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes. 
\item On considère les nombres complexes : 

\[z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}\quad ; \quad  z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}\quad   \text{et}~ z_{3} = 2\text{i}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$. 
		\item Placer les points A B et C d'affixes respectives $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$ dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_{3}}{z_{2}}$.
		\item En déduire que le point C est l'image du point B par une rotation $R$ de centre O dont on précisera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item Soit E le symétrique du point A par rapport à l'origine O du repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point E. 
		\item Montrer que le point E est l'image du point C par la rotation $R$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle BEC est équilatéral.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) :

\[9y'' + y = 0  \]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ et $y''$ la dérivée seconde de la fonction $y$. 
\item  On désigne par $f$ la solution de (E) vérifiant $f(0) = \dfrac{1}{2}$ et $f'(0) = - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction $f$. 

		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = \sin \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{5\pi}{6}\right)$.
	\end{enumerate}
\item La valeur efficace de la fonction $f$ est le réel positif $E$ défini par

 $E^2 = \dfrac{1}{6\pi}\displaystyle\int_{0}^{6\pi} \left[f(x)  \right]^2\:\text{d}x$.	 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ \left[f(x) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\left[1 - \cos \left(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{5\pi}{3}\right)\right]$.
		\item Calculer le réel $E$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On donne en annexe la courbe représentative $\Gamma$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$ et sa tangente $\Delta$ au point d'abscisse $0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs entières de $g(0)$ et de $g'(0)$. 
\item On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que  pour tout réel $x,$

$g(x) = \text{e}^x + ax + b$.

On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item À l'aide des résultats des deux questions précédentes calculer les valeurs de $a$ et de $b$.
	\end{enumerate} 
\item Dans la suite du problème on admet que, pour tout réel $x,~g(x) = \text{e}^x - 2x + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (les limites ne sont pas demandées).
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant \`a $\R$. 
		\item Comment ce résultat se traduit-il graphiquement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x\left(1 + 2\text{e}^{-x} \right)\]
 
On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~centimètres en abscisse 
et 1~centimètre en ordonnée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite D d'équation $y = x$.
		 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite D. On précisera leur point d'intersection.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que,  pour tout réel,  $f'(x) = \text{e}^{-x}g(x)$. 
		\item En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
\item Sur une feuille de papier millimétré qui vous sera fournie, tracer les droites D et T ainsi que la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
  
On note $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en centimètres carrés, de l'aire du domaine du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$ la droite D l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine ainsi défini. 
\item Soient $h$ et $H$ les fonctions définies sur $\R$ par $h(x) = 2x\text{e}^{-x}$ et

 $H(x) = 2(-x - 1)\text{e}^{-x}$.

Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner une valeur arrondie au millimètre carré près. 
\end{enumerate}

\newpage

\psset{unit=1.4cm}
\begin{center}

\textbf{Annexe (problème - partie A)}

\vspace{3cm}

\begin{pspicture}(-5,-1)(3.2,10.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](-5,-1)(3,10)
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\psline(-5,8)(3.2,-0.2)
\uput[l](-3.5,9){\blue $\Gamma$} \uput[dl](-4,7){$\Delta$}\uput[dl](0,0){O}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}