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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI Génie Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole~\decofourright\\[5pt]Génie électronique juin 2003}} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, résoudre l'équation
 d'inconnue $z$

\[z^2 - 8z + 32 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre complexe $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Donner sa forme algébrique.
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère  orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 4  + 4\text{i} \qquad  z_{\text{B}} = 4 - 4\text{i} \qquad 
z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur.

Le temps $t$ est exprimé en secondes. à l'instant $t = 0$, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur  à l'instant $t$.

On définit ainsi une fonction $q$ , deux fois dérivable sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, dont la dérivée première est notée 
$q'$.

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle 

\[\text{(E)}  :\qquad  y'' + \dfrac{1}{\text{LC}}y   = 0\]

où $y$ est définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et de dérivée seconde $y''$.

Dans tout l'exercice on prend C =$ 1,25 \times 10^{-3}$ et 
L = $0,5 \times 10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $q$ est alors solution de l'équation différentielle

\[\text{(E)}  : \qquad  y'' + 1,6 \times 10^5y = 0.\]

		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $q$ de (E) vérifiant :

\[q(0) = 6 \times 10^{-3} \quad \text{et} \quad q'(0)  = 0.\]

	\end{enumerate}
\item On sait que la valeur $i(t)$ de l'intensité, exprimée en ampères, du courant qui parcourt le circuit à l'instant $t$ vérifie $i(t) = - q'(t)$ . On définit ainsi une fonction $i$ sur l'intervalle $[0~ ;~  + \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~  + \infty[$

\[i(t) = 2,4 \sin (400 t).\]

		\item Calculer : $\dfrac{400}{\pi} 
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{400}} \cos (800t)\:\text{d}t$.
		\item On désigne par I$_{e}$ la valeur, exprimée en ampères, de l'intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule :

\[\text{I}_{e}^2 = \dfrac{400}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{400}} i^2(t) \:\text{d}t.\]

Calculer I$_{e}^2$ (on pourra utiliser la formule $\sin ^2 a = 
\dfrac{1}{2} (1 - \cos 2a)$, puis donner une valeur approchée de I$_{e}$ à $10^{-3}$ près, sachant que I$_{e}$ est un nombre positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne, dans le plan muni d'un repère orthogonal 
\Oij, d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées, la représentation graphique ($\mathcal{C}$) d'une fonction $g$ définie, dérivable et strictement croissante
sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ ainsi que deux droites (T) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2~;~0) et (0~;~$-3$). La droite (D) a pour équation $y = 1$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm}\begin{pspicture}(-0.3333,-6)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psline(-0.3333,-3.5)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.3333,1)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3.6,2.5){(T)} \uput[u](3.6,1){(D)} \uput[d](3.6,0.7){\blue (C)}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.232}{4}{1 2 x dup mul x sub div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement $g(2)$.
		\item Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $2$, déterminer graphiquement $g'(2)$.
		\item On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). Déterminer graphiquement la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Sachant que la courbe ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle  $]1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On définit les fonctions $g_{1},~g_{2}$ et $g_{3}$ sur l'intervalle
$]1~;~+ \infty[$ par :

\[g_{1}(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} \quad ; \quad g_{2}(x) = 1 - 
\dfrac{2}{x^2 - x} \quad ; \quad g_{3}(x) = \ln (x - 1).\]

L'une d'elles est la fonction $g$ que l'on se propose d'identifier en utilisant les résultats de la première question.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g_{1}(2),~ g_{2}(2)$ et $g_{3}(2)$.

Ces résultats permettent-ils d'éliminer une des trois fonctions ?
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{1}(x)~;~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
g_{2}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{3}(x)$.

Quelle fonction peut-on alors éliminer ?
		\item On note  $g'_{1}$ et  $g'_{2}$  les fonctions dérivées respectives de $g_{1}$ et $g_{2}$.

Calculer $g'_{1}(2)$ et $g'_{2}(2)$ puis conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x + 1 + 2 \ln x - 2 \ln (x - 1).\]

On note $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$,

\[f(x) = x + 1 + 2\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)~ ?\]

		\item Déterminer la limite de $f$ en 1. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Justifier que la droite (D) d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~ + 
\infty[,~\dfrac{x}{x - 1} >1$.

Quel est alors le signe de $\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)$ pour $x$ appartenant  à $]1~;~+ \infty[$ ?
		\item En déduire la position de la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à la droite (D).
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la  fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[,\: f'(x) = g (x)$ où $g$ est la fonction trouvée dans la \textbf{partie A}.
		\item À l'aide des résultats graphiques obtenus dans la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, 
la fonction $H$ définie par

\[H(x) = x \ln x - (x - 1) \ln (x - 1)\]

est une primitive de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln 
x - \ln (x - 1)$ sur cet intervalle.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et les droites 
d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe : représentation de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C}_{f})$ \unboldmath

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=2.5cm}\begin{pspicture}(0,-1)(5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.031}{5}{1 x add  x ln 2 mul  add x 1 sub ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}