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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique}%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\[5pt]juin 2004 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le nombre i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans, l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation  d'inconnue $z$ :

\[z^2 -4z\sqrt{2} + 16 = 0.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère les nombres complexes

\[z_{\text{A}} = 4\text{i} \qquad ; \qquad z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}(1 - 
\text{i}) \qquad ; \qquad z_{\text{C}} = 2\sqrt{2}(1 + 
\text{i}).\]

Déterminer  le module et  un  argument de chacun de ces nombres.
		\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

Placer dans le repère \Ouv{} les  points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate}
\item À tout nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $z'$ par la formule 

\[z' = \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times z.\]

On définit la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le  point $M'$ d'affixe $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est cette transformation ? Donner ses éléments  caractéristiques.
		\item Montrer  que $z'_{\text{B}} = z_{\text{A}}$.	Que peut-on en déduire  pour les points  A et  B ?
		\item Calculer  $z'_{\text{A}}$	sous forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ (avec $r > 0$), puis placer, dans le repère \Ouv{} le
point D d'affixe $z_{\text{D}} = z'_{\text{A}}$.
		\item	Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Un organisme de voyages prépare en Logoland un circuit de découverte qui doit passer une et une seule fois dans chacune des quatre villes notées 
respectivement I, L, O et Z.

Pour établir l'ordre des visites des villes, l'organisme doit tenir compte 
de deux impératifs

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le circuit ne peut partir que de I, L ou Z car la ville O ne possède pas  d'aéroport international. 
\item[$\bullet~$] La fin du voyage devant être en bord de mer,
le circuit doit se terminer par I ou Z.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un circuit possible est I, L, O et Z. Il sera noté (I, L, O, Z) .

Un exemple de circuit impossible est I, O, Z, L. Il est noté (I, O, Z, L).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi ce dernier circuit est impossible.
\item Déterminer les huit circuits possibles.
\item On choisit un circuit au hasard (chaque circuit a la même probabilité  d'être choisi). 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que le circuit se termine à I ?
		\item Quelle est la probabilité pour que le circuit commence à L ?
	\end{enumerate}
\item L'agence de voyages s'intéresse au nombre de kilomètres parcourus en bus  entre la ville de départ et la ville d'arrivée pour chaque circuit. Les distances exprimées en kilomètres entre les quatre villes sont indiquées dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&L		&I		&Z		&0\\ \hline
L						&0		&500	&600	&300 \\ \hline
I						&500	&0		&500	&700\\ \hline
Z						&600	&500	&0		&600 \\ \hline
O						&300	&700	&600	&0  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Par exemple, on peut lire que la distance entre O et I est de $700$~km.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque circuit associe le nombre de kilomètres parcourus.
	\begin{enumerate}
		\item En s'aidant du tableau fourni, déterminer l'ensemble des valeurs prises  par la variable aléatoire $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par

\[f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}\]

où $a,~ b$ et $c$ désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
 
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses  et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \psset{xunit=1.1cm,yunit=3mm}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\begin{pspicture}(-4,-10)(6,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt](-4,-10)(6,12)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-10)(6,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,3){B} \uput[ul](-3,0){A}
\rput(-2.9,9){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\rput(5,8.5){$\mathcal{D}$}
\psline(-4,-1)(6,9)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.22}{6}{x 2 exp 4 x mul add 3 add 2.71828 x neg exp mul}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On admet que la droite $\mathcal{D}$ passe par A et est tangente à la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ au point B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une lecture graphique,    déterminer les coordonnées entiéres des points A et B.

En déduire $f(-3)$ et $f(0)$.
		\item Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : $y = x + 3$. En déduire la valeur de $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\R$ ,
		
$f'(x) = \left[- ax^2 + (2a - b)x + b - c\right]\text{e}^{-x}$.
		\item En déduire $f '(0)$, en fonction de $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels  $a,~b$ et $c$ sont solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
9a-3b+c	&=	&0\\
b-c		&=	&1 \\
c		&=	&3\\
\end{array}\right.\]

\item Résoudre le système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour $x$ différent de zéro, $f(x) = \left(1 + \dfrac{4}{x} +  \dfrac{3}{x^2}\right)x^2\text{e}^{-x}$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. En déduire une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à $\R~f'(x) =  (-x^2 - 2x +  1)\text{e}^{-x}$.
		\item Pour tout $x$ réel, étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de l'ordonnée de chacun des  points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique 
$\alpha$ pour $x$ appartenant à $[-1~;~0]$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $F$ La fonction définie sur $\R$ par 

\[F(x) = (- x^2 - 6x - 9)\text{e}^{-x}.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$ définie par $g(x) = x + 3 - f(x)$.
\item On considère la partie du plan comprise entre la droite 
$\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, et les droites 
d'équations $x = 3$ et $x = 0$.

On désigne par $\mathcal{A}$ la valeur, exprimée en cm$^2$, de l'aire de 
cette partie.

Calculer $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\end{document}