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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans cet exercice, les quatre questions sont \textbf{indépendantes}.
 
Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = -1 + \text{i}\sqrt{3}$.
 
Écrire $z$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 

\item Soit A le point du plan d'affixe $_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$  et A$'$ l'image de A par la rotation de centre O et 
d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe de A$'$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. 
\item On considère les points B, C et D du plan d'affixes respectives : 

\[z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}, ~z_{\text{C}} = 4 - \text{i}, ~z_{\text{D}} = -1 - 3\text{i}. \]

Calculer les distances DB et DC. Donner une interprétation géométrique du résultat. 
\item Déterminer le réel c pour que le nombre complexe $- 4 + 2\text{i}$ soit solution de l'équation : 

\[z^2 + 8z + c = 0.\]
 
Résoudre ensuite cette équation dans l'ensemble $\C$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip
 
Une personne possède un téléphone portable dont le code comporte quatre chiffres. Elle ne se souvient plus de ce code et dispose seulement des informations suivantes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les quatre chiffres sont pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 et sont tous différents ;
\item le deuxième chiffre est un 2 et le quatrième est un 5.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La situation peut être schématisée de la façon suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm} ?& 2 & \mbox{?} &5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En tenant compte de toutes ces informations, cette personne saisit un code en choisissant au hasard les deux chiffres manquants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire la liste des douze codes de quatre chiffres qui sont alors possibles. 
\item Sachant que ces douze codes sont équiprobables et que le bon code est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}3&2&6&5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
déterminer les probabilités respectives $p_{1},~p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants :
 
	\begin{enumerate}
		\item \og Le code saisi est correct \fg. 
		\item \og Le code saisi ne comporte aucun chiffre exact bien placé à part les deux déjà connus \fg. 
		\item \og Le code saisi comporte au moins un chiffre exact bien placé en plus des deux chiffres déjà connus \fg. 
	\end{enumerate}

\item On définit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque code saisi, associe le nombre total de chiffres exacts bien placés (y compris ceux déjà connus au départ). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og X = 3 \fg. 
		\item Donner les trois valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~ cm.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par : 

\[f(x) = 1 + \ln (2x + 1)\]
 
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe pour aider le candidat et lui permettre de vérifier ses réponses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ et en donner une interprétation graphique.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$· 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer  $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$. 
		\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation. 
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f(x) \geqslant  1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$ l'équation : $1 + \ln (2x +1) = 0$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec chacun des axes du repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath 

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
 
On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.
	\end{enumerate}
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~ g'(x) = - x\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs du réel $x$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $g(x) \leqslant  1$. 
\item Tracer la courbe $\Gamma$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille donnée en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par: 

\[F(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\ln (2x + 1).\] 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
		\item Calculer l'intégrale $I_{1} = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

$G(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}$.
 
On admet que la fonction $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
 
Calculer l'intégrale $I_{2} = \displaystyle\int_{0}^2  g(x)\:\text{d}x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, en utilisant des résultats établis dans les parties A et B, que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\Gamma$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item  Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{P}$ du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
		\item  Déduire de ce qui précède la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{P}$ exprimée en unités d'aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe : À rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2.5)(3,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(3,3)
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\uput[u](3,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$}
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\uput[ul](1,2.1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}