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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{  \decofourleft ~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2010~\decofourright\\[5pt]
Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 3 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

\[z^2 - z\sqrt{3} + 1 = 0.\]
 
\item  Soient A et B deux points du plan complexe d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}\quad \text{et}~~z_{\text{B}} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{2}\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$. 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
	\end{enumerate}
\item  Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point C, image du point B par la rotation $r$. 
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. On donnera d'abord la forme exponentielle de $z_{\text{C}}$ puis sa forme algébrique.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{AO}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AO}}$ a pour affixe 
$- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$. 
		\item  En déduire l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D, image du point B par la translation $t$. 
		\item  Construire le point D.
	\end{enumerate} 
\item  Montrer que le triangle OBD est équilatéral. 
\item  Montrer que le triangle BCD est rectangle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est considérée conforme si elle répond aux critères de diamètre et d'épaisseur exigés. Afin de vérifier la conformité de ces pièces, on procède à deux tests : un test sur le diamètre et un test sur l'épaisseur.

On effectue les deux tests sur $500$~pièces et on observe que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 18 pièces ont un défaut de diamètre; 
\item 15 pièces ont un défaut d'épaisseur; 
\item  5 pièces ont les deux défauts.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip 

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
								&Pièces ayant un défaut de diamètre&Pièces n'ayant pas un défaut de diamètre&
Total\\ \hline
Pièce ayant un défaut d'épaisseur		&	&	&\\ \hline 
Pièce n'ayant pas un défaut d'épaisseur	&	&	&\\ \hline  
Total 									&18	&	&500\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
  
\item On prélève au hasard une pièce parmi les 500 pièces testées. Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité  que la pièce prélevée présente les deux défauts ? 
\item On prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent un défaut de diamètre. 
Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité, à $10^{-2}$ près, que la pièce prélevée présente également un défaut d'épaisseur ? 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe le nombre de défauts de conformité de la pièce. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip
 
\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^x + c\]
 
où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
 
Sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~centimètre en abscisse et 0,25~centimètre en ordonnée.
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~7) et la droite T est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$. Le point B$(-2~;~1)$ appartient à la droite T.
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide des données précédentes et du graphique, donner sans justification les valeurs de $f(0),~f'(0)$ et $f'(3)$. 
\item  Exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et de $c$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = (ax + a + b)\text{e}^x$. 
		\item En déduire les expressions de $f'(0)$ et de $f^{\prime}(3)$ en fonction de $a$ et de $b$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats des questions 1., 2. et 3.b, montrer que $a,~b$ et $c$ vérifient le système d'équations : 
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{4a +}b+c&=&7\\ 
\phantom{4}a+b&=&3\\
4a + b &=&0
\end{array}\right.\] 
		\item Déterminer les valeurs de $a,~b$ et $c$ puis donner l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Dans la suite du problème, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = (-x + 4)\text{e}^x + 3\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
\item En remarquant que, pour tout réel $x,~f(x) = -x\text{e}^x + 4\text{e}^x + 3$, calculer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).  

Interpréter graphiquement la limite trouvée. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe. 
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = (-x + 5)\text{e}^x + 3x.\]
 
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit D le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite T d'équation $y = 3x + 7$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 3$.
		 
Hachurer le domaine D sur le graphique de l'annexe. 
		\item Calculer, en centimètres carrés, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine D.
		 
On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie}

\vspace{3cm} 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.3cm} 
\begin{pspicture}(-5.5,-16)(3,26)
\multido{\n=-5+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-16)(\n,24)}
\multido{\n=-16+4}{11}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](-5,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=4](0,0)(-5.5,-16)(3,26)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.5}{3}{4 x sub 2.71828 x exp mul 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{3}{3 x mul 7 add}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,7)(-2,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}