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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2006 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv (unité graphique : 1~cm). 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\C$ l'équation 
\[z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\] 
\item Soient A et B les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$· 
		\item Construire avec précision les points A et B dans le plan en laissant les traits de construction apparents. 
		\item  Donner le module et un argument de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. 
		\item  Donner une mesure en radians de l'angle de la rotation de centre O, qui transforme A en B.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit C le symétrique de A par rapport à O. Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C et placer le point C dans le plan. 

		\item  $t_{\vect{w}}$ désigne la translation de vecteur $\vect{w} = -4\sqrt{3}\vect{u}$. Soit D l'image de A par la translation $t_{\vect{w}}$.
		 
Déterminer son affixe $z_{\text{D}}$ et placer D.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3)
\psline(0,0)(0,2) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,1)(4.75,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7,1)(9,1)
\psline(0,1)(0.75,1)(1,1.5)(1.5,0.5)(2,1.5)(2.5,0.5)(3,1.5)(3.5,0.5)(4,1.5)(4.5,0.5)(4.75,0.5)
\psframe(4.75,0.25)(7,1.75) \psdots(5.85,1)(4.25,1)\uput[ur](5.85,1){G}
\uput[d](4.25,1){O}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(5.85,2.5)(4.25,2.5)\uput[u](5.05,2.5){5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
On s'intéresse au mouvement d'un mobile qui se déplace sur un axe horizontal en étant fixé à un ressort.

 L'axe est muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ l'unité étant le cm.
  
G désigne le centre d'inertie. À l'équilibre G et O sont confondus. On tire de 5~cm vers la droite le mobile et on lâche.
 
On appelle $f(t)$ la position du mobile sur l'axe à l'instant $t$ exprimé en secondes. Ainsi $f(0) = 5$.
 
On rappelle que la vitesse du mobile à l'instant $t$ est $f'(t)$ (donc $f'(0) = 0$). 

\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On suppose, dans cette question uniquement, qu'il n'y a pas de frottements sur l'axe. On admettra dans ce cas, que la fonction $f$ vérifie l'équation différentielle suivante : (E) :

 \[y'' + 2y = 0.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E). 
		\item  Déterminer la solution de (E) vérifiant $f(0) = 5$ et $f'(0) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose qu'il y a des frottements sur l'axe.
 
On admet dans ce cas que pour $t \geqslant  0$, on a : $f(t) = 5\sqrt{2} \text{e}^{-t}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $t \geqslant  0$, on a : $-5\sqrt{2} \text{e}^{-t} \leqslant  f(t) \leqslant  5\sqrt{2}\text{e}^{-t}$. 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		 
Quel est le comportement du mobile pour $t$ assez grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \dfrac{1 + 2\ln (x)}{x}.\]
  
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative dans un repère \Oij{} orthonormal (unité graphique : 2~cm)

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = x^2 + 1 - 2\ln (x)$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (aucune limite n'est demandée).
	\end{enumerate} 
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ? 
		\item  Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, $f(x) = x + \dfrac{1}{x} + 2 \dfrac{\ln (x)}{x}$ et en déduire la limite de  la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. 
		\item  Pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, étudier le signe de $\dfrac{1 + 2\ln (x)}{x}$ et en déduire la position  
relative de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x > 0$, on a $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$. 
		\item En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1.

Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ en A.  
\item Tracer la droite $(\Delta)$, la tangente (T) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : calculs d'aire}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \ln (x) + [\ln (x)]^2.\] 
Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
 
\item Soit $(\mathcal{D})$ la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{D})$ sur la figure. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de $(\mathcal{D})$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}