\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique,  électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle 

\[(\text{E}) \quad :\quad 2y' +  y = 0,\]

où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$
et $y'$ sa dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) dont la courbe 
représentative $(\mathcal{C}_f)$ dans le plan rapporté à un repère \Oij passe par
 le point A $(\ln 9~;~ 1)$.
		\item Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le coefficient directeur de  la tangente à $(\mathcal{C}_f)$ au point A.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ définie dans $\R$ par $g(x) = 
\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ est une autre solution de l'équation (E).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{La figure sera construite sur la copie et complétée au fil 
de l'exercice}

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité  graphique $3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0$.
		\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 
\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et $z_{\text{B}} =  2\text{e}^{\frac{-5\text{i}\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
		\item Dans le repère \Ouv, construire les points A et B à la règle et au  compas.

(On laissera apparentes les lignes de construction).
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par A$'$ l'image de A par la rotation $r$. Placer le point A$'$.

Exprimer l'affixe $z_{\text{A}'}$ du point A$'$ en fonction de celle du point A puis en déduire la forme exponentielle et la forme algébrique de  $z_{\text{A}'}$.
		\item Soit le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Placer le point C dans le repère \Ouv.

Montrer que C est l'image de B par la rotation $r$ et écrire $z_{\text{C}}$ sous la forme algébrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) =  2 \ln (x+1) + \dfrac{x}{x + 1}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $-1$.
\item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Soit $g'$ la dérivée de $g$ sur l'intervalle $]- 1 ~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item En déduire que $g'(x)$ est strictement positif pour tout $x$ de 
$]- 1 ~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le sens de variations de $g$ sur $]- 1 ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g(0)$.
		\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ lorsque $x$  varie dans l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  (2x + 1) \ln (x + 1) - x - 1\]

et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-1$.
		\item En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote (D) dont on  donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item  Vérifier que pour tout $x$ de $]- 1 ~;~+ \infty[$ on a : $f(x) = x\left[\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)\ln (x + 1) - 1 - \dfrac{1}{x}\right]$.

		\item En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ on a $f'(x)  = g(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $a$  et $b$ sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.

Donner pour chacune l'approximation décimale à $10^{-2}$ près par défaut.
\item Construire l'asymptote (D) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère 
\Oij{} (\textsl{utiliser la feuille de papier millimétré fournie}).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit la fonction $U$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[U(x) =  \left(x^2 + x\right) [\ln (x+ 1) -1].\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $U$ est une primitive de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$.
\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du  plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x =  3$. On donnera le résultat final sous la forme $n \ln 2 + p$ où $n$ et $p$ sont des nombres entiers relatifs.
\end{enumerate}
\end{document}