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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~ \decofourright\\[4pt] juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère $P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4$ où $z$ est un nombre complexe.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$.
		\item Déterminer les nombres réels $a,~b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $5$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~z_{\text{B}} = 1 + \text{i},~z_{\text{C}} = 1 - \text{i}$.
		\item Déterminer le module et un argument de  $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
		\item Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
		\item Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ est telle que $f'(x) = \dfrac{3\text{e}^{2x} - 2}{\text{e}^{2x}}$.
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$, puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ (les limites en $- \infty$ et $+ \infty$ ne sont pas demandées).
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 6x + 1$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre  l'équation différentielle $y' + 2y = 0$.
		\item Démontrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 3x - 1$ est solution de l'équation (E).
		\item Vérifier que la fonction $f$ est solution de (E) et que $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} la représentation graphique $\Gamma$ d'une fonction $g$, définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty]$.

La droite T passant par O et A(1~;~1) est tangente en A à la courbe $\Gamma$.

La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

\vspace{0,3cm}

\psset{unit=0.923cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(9,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(9,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](7.5,2.3){\blue $\Gamma$}
\psline[linewidth=1.5pt](-4,-4)(5,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.336}{9}{x ln 2 x div add 1 x 2 exp div sub}
\uput[ul](4,4){T}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{X}}
\textbf{a.}& $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)$& \textbf{b.} & $g(1)$ & \textbf{c.}& $g'(1)$.\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On admet que, pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+\infty]$,

\[g(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2},~\text{où}~a~\text{et}~b~\text{sont deux nombres réels.}\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $g(1)$ et $g'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
		\item Déterminer $a$ et $b$ en utilisant les résultats précédents.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $g$ est définie sur $]0~;~+\infty]$ par $g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,2~;~ 0,8] ; déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par excès.
		\item En déduire, en utilisant le sens de variations de $g$, le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty]$ par

\[ f(x) = \text{e}^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Vérifier que l'on peut écrire, pour tout $x$,~appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty]$,

\[f(x)= \dfrac{\text{e}^x}{x}(x \ln x + 1).\]

		\item En déduire la limite de $f$ en $0$ (on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0}  x \ln x = 0$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[,~ f'(x) =g(x) \text{e}^x$.
		\item En utilisant le signe de $g$ obtenu précédemment, étudier le sens de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente	$\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
		\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$. Sur cette figure, tracer la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $a$ un nombre réel tel que $0 <  a < 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
		
$h(x) =  \text{e}^x \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire que $\displaystyle\int_{a}^1 f(x)\,\text{d}x  = - \text{e}^{a}\ln a$.
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{D}$ désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
		\item Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-6,-1)(9,8)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-6,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.106}{1.9195}{x ln 1 x div add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 