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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 23 juin 2009~\decofourright
\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 +\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$. 
	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 
	\item Placer le point A dans le repère \Ouv{} en prenant comme unité graphique 2~cm.
	\end{enumerate} 
\item Soit B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture du nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$). 

	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. 
	\item Placer le point B dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que le triangle AOB est équilatéral. 
\item  Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle transformation géométrique le point C est-il l'image du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation. 
	\item Placer le point C dans le repère \Ouv.
	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique. 
	\item Établir que 
$z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
	 
En déduire l'écriture du nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique. 
	\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes $\cos \dfrac{7\pi}{12}$  et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux. 

Une bonne réponse rapporte 2~points, une mauvaise réponse enlève 1~point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
 
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.

 On appelle :
 
 \setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A l'évènement : \og le candidat n'a pas répondu à la question \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] B l'évènement : \og le candidat a donné la bonne réponse à la question \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] C l'évènement : \og  le candidat a donné la mauvaise réponse à la question \fg. 
\end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
 
\medskip

Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C). 

\medskip

Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item soit il répond au hasard aux trois questions ; 
\item soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{I. Première stratégie :}  le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse.
 
Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de triplets différents peut-on obtenir? (On pourra utiliser un arbre.) 
\item Calculer la probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute. . 
\item Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à $0,375$. 
\item On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice. 	 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. 
	\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 
	\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{II. Deuxième stratégie :}  le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de triplets différents peut-on obtenir? 
\item On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y. 
	\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. 
	\item Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable aléatoire Y.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{III. Comparaison des stratégies :} parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ? 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. 

On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire }

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[g(x) = 2\text{e}^x +2x+3. \]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
 
Les limites ne sont pas demandées. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $g( x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-2~;~-1]$. 
	\item Donner l'arrondi au dixième de $\alpha$. 
	\item En déduire, selon les valeurs du nombre réel $x$, le signe de $g(x)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) = 2\text{e}^x + x^2 + 3x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
\item  Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. 
\item  Soit $\mathcal{P}$ la parabole d' équation $y = x^2 + 3x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x) - \left(x^2 + 3x\right)$ quand $x$ tend vers 
		$-\infty$. 
	\item  Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\item  Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la parabole $\mathcal{P}$. 
	\end{enumerate}
\item On note  $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
		\item  Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole $\mathcal{P}$ dans le repère \Oij, en prenant comme unité graphique 2~cm.
 
Tracer sur cette feuille annexe la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée précédemment. 
		\item En déduire, en cm$^2$, la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.5cm}

Cette feuille est à rendre avec la	 copie

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(2,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](-4.15,4.5){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.542}{1.542}{x dup mul 3 x mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}