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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole  juin 2006 ~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $z^2 -2z +4 =  0$.
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ 	et $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$.
		\item Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$
fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : 
\[z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z.\]
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
		\item On nomme C l'image du point A par la transformation $R$. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. En déduire sa forme algébrique. 
		\item Placer le point C. 
		\item Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation $R$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Le joueur mise $10$~euros. 
\item Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros 10 ; 0 ;  5 ;  0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère. La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,5.3)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}  \pscircle(8.5,2.5){2.5} 
\psline(4.914,1.853)(0.085,3.147)
\psline(3.147,4.915)(1.853,0.085)
 \psline(10.914,1.853)(6.085,3.147)
\psline(9.147,4.915)(7.853,0.085)
\rput(3,1.2){\huge 5} \rput(1.25,2){\huge 0} 
\rput(2,3.7){\huge 10} \rput(3.7,3.2){\huge 0} 
\rput(9,1.2){\huge 10} \rput(7.25,2){\huge 0} 
\rput(8,3.7){\huge 5} \rput(9.7,3.2){\huge 0} 
\rput(0,0){Roue \no 1} \rput(11,0){Roue \no 2}
\pspolygon*(1.4,5.2)(2,5.2)(1.7,4.87)
\pspolygon*(7.4,5.2)(8,5.2)(7.7,4.87)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de $15$~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude du gain d'un joueur pour une mise de $10$~euros.

On nomme $G$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire $G$ selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Roue \no 2}{Roue \no 1}&10 & 0 & 5 & 0\\ \hline
10	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
5	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50\,\%.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
		\item Calculer la probabilité, notée $p(G > 10)$, qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $G$, puis donner son interprétation.
	\end{enumerate}
\item Étude du bénéfice de l'association pour une mise de $m$ euros.

On suppose dans cette question que la mise du joueur est $m$ euros.

On note $B$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $m$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$.
		\item Déterminer $m$ pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})\quad :\quad  y' + y = -x - 1\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' + y =  0$.
		\item Déterminer la solution $h$ de cette équation différentielle $y'+ y =  O$ prenant la valeur $\dfrac{1}{\text{e}}$ en $x = 1$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) =  \text{e}^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

\[ f(x)= \text{e}^{-x} - x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et  $-\infty$. 
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\item Préciser le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan}

\medskip

La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe, qui est à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie $\mathcal{D}$ limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
\item Calculer en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathcal{D}$ du plan.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D : étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath \textbf{et représentation graphique}

\medskip

La fonction $g$ est définie sur $]-\infty~;~\alpha[$ par :

 \[ g(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{-x} - x}\]

(où $\alpha$ désigne le nombre réel trouvé à la partie B et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x \in ]-\infty~;~\alpha[,~g(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{1 - x\text{e}^x}$.
		\item En déduire la limite de la fonction $g$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction $g$ en $\alpha$. Interpréter graphiquement cette limite.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g'$ désignant la dérivée de la fonction $g$, montrer que pour tout $x$ 
de $]-\infty~;~ \alpha[,~ g'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}(1 + x)}{\left(\text{e}^{-x} - x\right)^2}.$
		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur	$]-\infty~;~\alpha[$ et dresser le tableau des variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.71cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,subgridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.68}{2}{2.71828 x neg exp x sub}
\uput[l](-1.2,4.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 