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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\ [5pt]septembre 2004 }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\parbox[l]{0.68\textwidth}{On considère le circuit électronique ci-contre comprenant
un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a
pour valeur $C$, une bobine dont l'inductance, exprimée en
henrys, a pour valeur $L$ et un interrupteur. Le temps test
exprimé en secondes.

À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur et le 
condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en
coulombs, du condensateur à l'instant $t$.} \hfill
\parbox[l]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,4)
\psline(0,0)(0,3)
\pnode(0,3){A} \pnode(3,3){B} \capacitor(A)(B){$C$}
\pnode(3,0){C} \switch(B)(C){}
\pnode(0,0){D} \coil[dipolestyle=curved](D)(C){$L$}
\end{pspicture}}

\bigskip

On définit ainsi une fonction $q$, deux fois dérivable sur 
l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation 
différentielle (E) :

\[y'' + \dfrac{1}{LC}y = 0.\]

où $y$ est définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ et de 
dérivée seconde $y''$.

Dans tout l'exercice, on prend  $C = 2 \times 10^{-3}$ et $L = 1,25 \times  10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Prouver qu'alors l'équation différentielle (E) 
s'écrit : 
\[y'' + 4 \times 10^4 y = 0.\]

\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la fonction $q$ sachant qu'elle est la 
solution particulière de (E) vérifiant :

\[q(0) = \dfrac{\sqrt{2}}{400} \quad \text{et} \quad  q'(0)= 
\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

\item Montrer que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0 
~;~+ \infty[,~ q(t)$ peut se mettre sous la forme :

\[q(t) = \dfrac{1}{200} \times  \sin\left(200t + \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne $q_m$ de la fonction $q$ sur 
l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{\pi}{800}\right]$.

On donnera une valeur exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans le hall d'accueil d'une gare téléphérique, trois appareils 
automatiques, (numérotés 1, 2 et 3) délivrent des tickets identiques d'une valeur  de $20$~\euro.

Deux personnes, que l'on désigne par les lettres M et N, se 
présentent dans cet ordre, chacune devant un appareil (éventuellement le même) choisi aléatoirement pour acheter un ticket.

On convient de noter $(a,~ b)$ l'évènement élémentaire suivant : la 
personne M choisit l'appareil $a$ et la personne N choisit l'appareil $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliciter les neuf évènements élémentaires. On pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
\item On suppose que les neuf évènements élémentaires sont  équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : \og seul l'appareil 2 a été utilisé \fg{} ;

B : \og un seul des trois appareils a été utilisé \fg{} ;

C : \og l'appareil 2 n'a pas été utilisé \fg.
		\item Les évènements A et C sont-ils contraires ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item L'appareil 1 est déréglé, il réclame seulement $10$~\euro{} pour le 
paiement d'un ticket d'une valeur de $20$~\euro. Les clients l'ignorent jusqu'au paiement de leur ticket.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque évènement 
élémentaire, associe la somme totale, exprimée en euros, payée par les deux personnes.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs prises par la variable 
aléatoire $X$.
		\item Calculer la probabilité : $P(X =20)$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).

On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième 
près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} 	\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Introduction d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :

\[g(x) = \text{e}^x + x - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variations (les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $g(0) = 0$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x - 3 - x\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère  orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout $x$ réel non nul :

\[f(x) = x\left(1- \dfrac{3}{x} -  \text{e}^{-x}\right).\]

En déduire $\displaystyle \lim_{x \to - \infty}  f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer : $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}  f(x)$.
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la 
droite D  d'équation : $y = x-3$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout nombre réel $x$, calculer $f'(x)$, puis vérifier 
que :

\[f'(x) = g(x) \text{e}^{- x}.\]

		\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur décimale 
approchée à $10^{-2}$ près de $f(3)$ et de $f(4)$.
		\item Prouver qu'il existe un nombre $\alpha$, compris entre 3 et 4, tel que : $f(\alpha) = 0$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite D dans le plan muni du repère  \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par :

\[h(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On note $h'$ la fonction dérivée de la 
fonction $h$. Calculer $h'(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
\item On appelle $\mathcal{A}$ la valeur, exprimée en unités d'aire, de l'aire de  la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D, l'axe des ordonnées et la  droite d'équation $x = 2$.

Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur décimale approchée par 
excès à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}