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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique}%
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\lfoot{\small{Métropole}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le  plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $2$~cm.

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $1$.
 
A est le point d'affixe $a = \dfrac{\sqrt{3}}{ 2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$.
\item  Soit $r$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'affixe $b$ du point B image de A par $r$ est égal, à $- \text{i}$. 
		\item Le point B appartient-il au cercle $\Gamma$ ? 
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
	 \end{enumerate}
\item  Donner l'affixe $c$ du point C diamétralement opposé au point A sur le cercle $\Gamma$.
\item Soit $t$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = z + \dfrac{\sqrt{3}}{ 2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.

Démontrer que l'affixe $d$ du point D image de C par la transformation $t$ est égale à $\text{i}$.	
\item Tracer le cercle $\Gamma$ et placer les points A, B, C, D dans le	repère \Ouv.	
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $a$ sous forme exponentielle.	
		\item Déterminer la forme algébrique de $a^6$.	
		\item Le point d'affixe $a^6$ appartient-il à $\Gamma$ ?
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un circuit est composé d'une bobine d'inductance $L$, mesurée en farads, d'un condensateur de capacité C, mesurée en henrys, et d'un interrupteur. L'unité de temps est la seconde

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\pnode(0,0){A} \pnode(7,0){B} \pnode(7,4){C} \pnode(0,4){D}
\pnode(4,4){E} \pnode(5.5,4){F} \switch(E)(F){~}
\coil[dipolestyle=curved](C)(B){L}
\capacitor(A)(D){C} 
\psline{->}(8,1.5)(8,3.5) \psline{->}(2,4)(3,4) 
\psline(0,0)(7,0) \uput[r](8.5,2.5){$u(t)$}
\psline(0,4)(2,4) \psline(5.5,4)(7,4) \psline(3,4)(4,4) 
\uput[u](2.5,4){$i(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que :

C $= 125\cdot 10^{-6}$	et L$ = 200 \cdot 10^{-3}$.\\
à l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur, le circuit est alors parcouru par un courant.

On désigne par $q(t)$ la charge, mesurée en coulombs, du condensateur, $i(t)$, l'intensité, mesurée en ampères, du courant qui parcourt le circuit et $u(t)$ la tension, mesurée en volts, aux bornes de la bobine à l'instant $t$.
 
À l'instant $t =  0$, la charge du condensateur, mesurée en coulombs, est $10^{-3}$ et l'intensité du courant qui parcourt le circuit est nulle. On a donc les conditions initiales suivantes : $q (0) = 10^{-3}$ et $q'(0) =  0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la charge du condensateur est solution de l'équation différentielle (E) :

\[q''(t) + \dfrac{1}{\text{LC}} q(t) = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item  Démontrer que l'unique solution de l'équation différentielle (E) v\'erifiant  les conditions initiales est la fonction $q$ définie par $q(t) = 10^{-3} \cos (200t)$  où $t$ est un réel positif.
	 \end{enumerate}
\item Les fonctions $i$ et $u$ définies dans le préambule vérifient pour tout $t : i(t) = - q'(t)$ et $u(t) =  - L'(t)$, où $i'$est la dérivée de $i$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $t,~  u(t) =  -8 \cos (200t)$.
		\item  La tension efficace U$_{\text{eff}}$ aux bornes de la bobine est définie par :

\[\left(\text{U}_{\text{eff}} \right)^2	 = \dfrac{100}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{100}} [u(t)]^2\: \text{d}t.\]

Déterminer la valeur exacte de U$_{\text{eff}}$

$\left(\text{on pourra utiliser la relation}~ \cos ^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}\right)$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{A.  étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble des réels par 

\[g(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $g(x) = \text{e}^{x}\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^{x} - 5\right)$. 
\item Étudier le signe de $g(x)$  sur $\R$.	
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{B. Étude de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x}  - 2x + 1.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : $2$~cm sur l'axe
des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout réel $x$ :

\[f(x) = \text{e}^{x}\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^{x} - 5 - \dfrac{2x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right).\]

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item  Montrer que la droite $D$ d'équation $y = - 2x + 1$ est une
asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $-  \infty$.
		\item  Montrer que pour tout réel $x,~ g(x) = f(x) - (- 2x + 1)$.
		
En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D$
sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout réel $x$,

\[f'(x) =  \left(3\text{e}^{x} + 1\right)\left(\text{e}^{x} - 2\right).\]
	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de	$f$.
		
On précisera la valeur exacte du minimum.
	 \end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $3\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} =  0$.		
		\item En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente $T$ est parallèle à la droite $D$.	
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution
unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~ ;~2].	
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	 \end{enumerate}	
\item Sur une feuille de papier millimètre, tracer $D$, $T$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 	
\bigskip

\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip

On considère le domaine $\Delta$ du plan compris entre la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x =  0$ et $x =  \lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement négatif.

On note $\mathcal{A}(\lambda)$ la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique le domaine $\Delta$. 
\item  Démontrer que, pout tout réel strictement négatif $\lambda$,
\[\mathcal{A}(\lambda) = \left(\dfrac{17}{4} + \dfrac{3}{4}\text{e}^{2\lambda} - 5\text{e}^{\lambda}\right).\]
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$.
\end{enumerate}
\end{document}