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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique ~\decofourright\\[5pt]Métropole  septembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
 j désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z : \quad  (1 - 2\text{i})z = (1 - \text{i})z - 1 - \text{i}$.
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm, on considère les points A, B et D tels que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A est le point d'affixe $z_{\text{A}} =1 - \text{i}$,
\item B est l'image du point A par la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ;
\item D est le symétrique du point A par rapport à O.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.
		\item  Calculer le module et un argument de l'affixe $z_{\text{A}}$ du point A.
		\item  Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D. Justifier.
		\item  Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{B}}$ affixe du point B.
		\item  Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la distance AB.
	\end{enumerate}
\item  On note C l'image de B par la translation $T$ de vecteur d'affixe $-1 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir l'égalité vectorielle $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{BC}}$.
		\item  Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme.
		\item  Prouver que CD = AB.
		\item  En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Un joueur lance successivement et dans cet ordre trois pièces de monnaie : une de $2$~euros et deux de $1$~euro.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les différents résultats possibles, sachant qu'un résultat peut être considéré comme un triplet du type (P, F, P) par exemple, P désignant pile et F désignant face.

Chaque pièce est parfaitement équilibrée. On est dans une situation d'équiprobabilité.
\item  Si les trois pièces présentent leur côté face, le joueur perd $5$~euros : sinon il gagne la somme des euros figurant sur les pièces présentant leur côté pile.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lancer des trois pièces, associe la somme d'argent gagnée en euros. Lorsque le joueur perd, la variable $X$ prend alors une valeur négative.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles valeurs peut prendre $X$ ?
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og  $X \leqslant  2$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique du gain est égale à $0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Ce jeu est-il équitable ?
		\item  Quelle somme le joueur devrait-il perdre lorsque les trois pièces présentent leur côté face pour que ce jeu soit équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}
 
\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$,  la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On sait de plus que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$ ;
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point A(0 ; 4)
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les nombres réels suivants en justifiant la réponse donnée :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $f(0)$&		\textbf{b.} $f'\left(\dfrac{1}{4}\right)$& \textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\end{tabularx}
\medskip
\item  On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = a + (bx+ c)\text{e}^{2x}$ où $a,~ b$ et $c$ sont trois constantes réelles.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x)  = (2bx+b + 2c)\text{e}^{2x}$.
\item  Exprimer en fonction de $a,~ b$ et $c$ les nombres réels suivants :\\
$f(0)~~;~~f'\left(\dfrac{1}{4}\right)~~;~~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f (x)$ (on admet que $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$).
\end{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire des questions précédentes que les réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
 a + c &=&4\\
 \dfrac{3}{2}b + 2c & =& 0\\
 a&=&1\\
 \end{array\right.} \]
		\item Résoudre ce système et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: étude et représentation d'une fonction}
 
\medskip
On admet que $f$ est définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 1 + (-4x + 3)\text{e}^{2x}.\]
 
\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $f$
dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item  On rappelle que la droite $\Delta$ d'équation $y = l$ est asymptote à la courbe	$\mathcal{C}_{f}$	en $- \infty$.\\
étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$	par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x),~ f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et établir son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~1\right]$.
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  En utilisant les résultats précédents, construire sur la feuille de papier millimétré, la droite $\delta$
puis la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}
 
\medskip
On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $\R$ par :

\[h(x) = (-4x+3)\text{e}^{2x}~~ \text{et}~~ H(x) = \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}.\]
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
\item  On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$ ,la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ et les droites
d'équations $x=-1$ et $x=0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\item  Calculer la valeur exacte de la mesure, en cm$^2$, de l'aire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}