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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]

\item  On considère les points A, B et C du plan d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\quad ;\quad	z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}~~	\text{et}~~ 	z_{\text{C}} = 4.\]
Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
\item  Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
		\item  Montrer que le point B est l'image du point A par une rotation de centre O et d'angle que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle.

\item Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}
 
\medskip

Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement.

Le fabricant propose en option une extension de garantie payante de deux ans, au delà de cette première année gratuite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une étude est faite sur un échantillon de \np{1000}~ordinateurs vendus par ce fabricant. Elle montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année (on note ce cas R$_{2}$) ;
\item[$\bullet~$]	au cours de la troisième année, 20~ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparation (on note ce cas R$_{3}$) dont un qui avait déjà été réparé l'année précédente.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|l|X|}\hline
Nombre d'ordinateurs		&R$_{3}$ se produit	&R$_{3}$ ne se produit pas	&Total\\ \hline
R$_{2}$ se produit			&					&							& \\ \hline
R$_{2}$ ne se produit pas	&					&							& \\ \hline
Total						&					&							& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On admet que la répartition précédente modélise ce qui se produit pour l'ensemble des ordinateurs vendus par ce fabricant.

\item  Selon les chiffres du fabricant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette deuxième année est 150~\euro.
\item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette troisième année est 200~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l'acheteur, au terme des trois premières années. Ce coût est exprimé en euros.

Les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont donc 0, 150, 200, 350.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 0)$ est égale à $0,971$.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item Le fabricant propose l'extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50~\euro.

Que peut-on en dire ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie A: Résolution d'une équation différentielle}
 
\medskip
 
On considère l'équation différentielle
 
\[(E)~~:\quad  y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5,\]

où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)\:\: :\quad  y'+ 5y = 0$.

\item  Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $u$, définie sur $\R$ par $u(x) = ax^3 + b$, soit solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1$ où $k$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $h$ est solution de l'équation $(E)$.
		\item  Déterminer le réel $k$ tel $h(0) = - 2$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = - 3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
		\item  Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
		\item  Établir que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1].
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$ du nombre réel $\alpha$.
		\item  Déterminer selon les valeurs du réel $x$, le signe de $f(x)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Courbe représentative de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 8~ cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(x) = x^3 + 1$.

La représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $u$, dans le repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item  On pose, pour tout réel $x,~ d(x) = f(x) - u(x)$.
		
Étudier le signe de $d(x)$.
		\item  En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième de $f(x)$.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-0,2$	&0	&0,2&0,4&0,6&0,8&1	&1,2 \\ \hline
$f(x)$	&		&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie D : Calcul d'une aire}
 
\medskip

On appelle $\mathcal{P}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \dfrac{1}{2}$ et  $x = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la feuille annexe la partie $\mathcal{P}$ du plan.
\item Calculer la mesure, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\mathcal{P}$ du plan.

\emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE DU PROBLÈME\\
À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=6.667cm,yunit=1.75cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-7)(1.4,4)
\multido{\n=-0.4+0.2}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,-7)(\n,4)}
\multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](-0.4,\n)(1.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.4,-7)(1.4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{x 3 exp 1 add }
\uput[u](1.35,3.5){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}