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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole \& La Réunion septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

\[z^2 - 8z\sqrt{3}+ 64 = 0.\]
 
\item  Soit $z_{0}$ le nombre complexe de module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{6}$.
 
Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{0}^3$.
 
En déduire la forme algébrique de $z_{0}^3$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
  
On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

\[ z_{\text{A}} = 8\text{i},~z_{\text{B}} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}~ \text{et}~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}\]

où $\overline{z_{\text{B}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{B}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer le module et déterminer un argument de $z_{\text{B}}$ puis de $z_{\text{C}}$ 
\item  Vérifier que $z_{\text{A}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. 
\item  On appelle $z_{\text{D}}$ l'affixe du point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $z_{\text{D}}$ et l'écrire sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 
		\item En déduire que $z_{\text{D}} = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv{} en prenant comme unité graphique 1~ cm. 
		\item  Démontrer que le triangle OAD est équilatéral. 
		\item  Démontrer que le point O est le milieu du segment [CD]. 
		\item  Déterminer la nature du triangle ACD.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Pour un jeu de hasard, on place dans un sac opaque cinq jetons numérotés de 1 à 5, indiscernables au toucher.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lors d'une partie, un joueur pioche au hasard dans le sac un jeton qu'il place devant lui. Il pioche ensuite au hasard un second jeton qu'il place à droite du premier, formant ainsi un nombre de deux chiffres. Le premier jeton tiré indique donc le chiffre des dizaines et le second celui des unités. 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'un arbre, écrire les 20 nombres qu'il est possible d'obtenir. 
		\item Soit M$_{2}$ l'évènement \og le nombre obtenu est un multiple de 2 \fg{} et M$_{3}$ l'évènement \og le nombre obtenu est un multiple de 3 \fg.
		 
Démontrer que $P\left(\text{M}_{2}\right) = P\left(\text{M}_{3}\right)$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement A: \og le nombre obtenu est un multiple de 3 qui n'est ni un multiple de 2 ni un multiple de 5 \fg.
\end{enumerate}
 
\item Un joueur doit miser 3 euros pour faire une partie.
 
Si le nombre obtenu est un multiple de 2, le joueur perçoit 2 euros.

Si le nombre obtenu est un multiple de 3, le joueur perçoit 3 euros.
 
Si le nombre obtenu est un multiple de 5, le joueur perçoit 5 euros.
 
Les sommes perçues sont cumulatives. (\emph{Par exemple, si le joueur obtient le nombre $45$ qui est à la fois un multiple de $3$ et de $5$, il perçoit $8$ euros}).
 
On note X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain (positif ou négatif) finalement réalisé par le joueur en tenant compte de la mise initiale. (\emph{Par exemple, si le joueur obtient le nombre $45$, la variable aléatoire X prend la valeur} $8 - 3 = 5$). 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont $-3~;~-1~;~ 0~;~2$ et $5$.
		\item  Démontrer que $P(X = 0) = \dfrac{1}{10}$.  
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. 
		\item Le jeu est-il équitable?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par (E) l'équation différentielle

\[ 2y' + y = 0,\]

dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$.  $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Soit $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant $f(2) = \text{e}$.
 
Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \text{e}^{2 - \frac{1}{2}x}$. 
\item Pour tout nombre réel $x$, on pose $g(x) = (2x + 1)[f(x)]^2 - 9$.
 
Montrer que $g(x) = (2x + 1)\text{e}^{4  - x} - 9$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, que pour tout nombre réel $x,~ g(x) = 2\text{e}^4x\text{e}^{-x} + \text{e}^4\text{e}^{-x} - 9$. 
		\item Utiliser cette expression pour déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
Montrer que pour tout réel $x,~ g'(x) = (1 - 2x)\text{e}^{4 - x}$.
		\item Déterminer le sens des variations de $g$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte des nombres $g(- 1)$ et $g(0)$. 
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 1~;~0]$. 
		\item Donner l'arrondi au centième de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs de $g$ qui se trouve sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
		 
On arrondira les valeurs à l'unité. 
		\item Tracer la droite $\Delta$, la droite $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$, dans le repère figurant sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 

\[G(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{4 - x} - 9x\]

est une primitive sur $\R$ de la fonction $g$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{H}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. 
		\item  Calculer en unités d'aire la mesure exacte de l'aire de la partie $\mathcal{H}$ du plan.		 
		\item En déduire en cm$^2$ la valeur arrondie au centième de l'aire de de $\mathcal{H}$.
		 
On rappelle que les unités graphiques sont : 2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 10~unités en ordonnée.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe du problème à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}

\textbf{Tableau des valeurs de la fonction \emph{g} (valeurs arrondies à l'unité)}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{c|}*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-0,75$&$-0,5$	&$-0,25$&0	&0,5&1	&2	&3	&4	&5	&6 \\ \hline%
$g(x)$	&		&		&		&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\begin{flushleft}

\textbf{Repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour 1~unité en abscisse et 1~cm pour 10 unités en ordonnée}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1.3333cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-110)(7.5,110)
\multido{\n=-1.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-110)(\n,110)}
\multido{\n=-110+5}{45}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-1.5,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1.5,-110)(7.5,110)
\uput[d](7.5,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}