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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{  \decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole \& La Réunion 16 septembre 2010~\decofourright\\[5pt]
Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C\\ \hline 
\textbf{1.} Le nombre complexe solution de l'équation $(1 + \text{i})z - 3 + \text{i} = 0$ est :&$1- 2\text{i}$& $2 - \text{i}$ &$2 - 2\text{i}$\\ \hline 
\textbf{2.} On considère le nombre complexe $z_{0}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le nombre complexe $z_{0}^{\np{2010}}$ est :& un réel positif&un imaginaire pur&un réel négatif\\ \hline 
\textbf{3.} L'écriture exponentielle du nombre complexe $- 1 + \text{i}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ \hline
\textbf{4.} Si $z_{1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et  $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$, alors l'écriture exponentielle de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$& $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{11\pi}{12}}$\\ \hline
 \textbf{5.} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, l'image du point $M$ d'affixe $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$  par la rotation de centre O 
et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ est le point $M'$ d'affixe $z'$ :&$z' = - \sqrt{3} + \text{i}$&$z' = \sqrt{3} + \text{i}$  & $z' = \sqrt{3} - \text{i}$\\ \hline
\textbf{6.} Si les points A, B, C ont pour affixes respectives $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, alors le triangle ABC est : &rectangle &isocèle& 
équilatéral\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 10~boules. Sur chacune d'elles, on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre inscrit sur la boule &5 	&6 &10 	&11	&12 &13 &14\\ \hline 
Nombre de boules			&1	& 2&1	&3	&1	&1	& 1\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

Un joueur mise 10~\euro, tire une boule au hasard dans l'urne et reçoit en euros la somme inscrite sur la boule. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Le joueur joue une fois : on appelle $p_{1}$ la probabilité qu'il perde de l'argent (c'est-à-dire que le nombre inscrit sur la boule soit inférieur à 10) et $p_{2}$ la probabilité qu'il ait un gain positif ou nul.
 
Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$· 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le \og gain \fg{} du joueur (une perte est un gain négatif).
 
Par exemple: si le joueur tire le nombre 12 son gain est de $+ 2$ ; s'il tire le nombre 6 son gain est de $- 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Présenter la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ dans un tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique, notée E($X$) , de la variable aléatoire $X$.
		 
Que représente E($X$) pour le joueur ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On souhaite, en changeant le nombre inscrit sur UNE boule et une seule, rendre le jeu équitable. Proposer une solution. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y' - 2y = 0$ (E). 
\item Déterminer la fonction $g$, solution particulière de (E), vérifiant $g'(0) = - 1$.
\end{enumerate}

 \medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La courbe fournie sur le \textbf{document annexe} représente la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
 
Les points K et F ont pour coordonnées respectives (0~;~3) et (1~;~6). La droite (KF) est tangente à la courbe au point K.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (KF). 
\item À l'aide des coordonnées du point K et du coefficient directeur trouvé, déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$ par : 

\[f(x) = 3\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $]-\,\infty~;~2]$ : $f'(x) = \text{e}^x \left(3 - \text{e}^x\right)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		 
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente ($T$) à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse  $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$. 
\item Déterminer les coordonnées du point B, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
\item Tracer la tangente ($T$) et la courbe $\mathcal{C}$, après avoir placé les points A et B. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 6$. 
		\item Calculer en unités d'aire, puis en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Pour tout nombre réel $\alpha$ inférieur à $\ln 6$, on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine constitué par l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c c c l}
\alpha&\leqslant &x & \leqslant & \ln 6\\
0&\leqslant&y&\leqslant & f(x)
\end{array}\right.$
 
On admet que : $\mathcal{A}(\alpha) = \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2$ unités d'aire.
 
Peut-on obtenir une aire de $8$~cm$^2$ ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Problème, partie B}

\vspace{1cm}

\textbf{Document annexe}

\vspace{1cm} 

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,7.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-4,-1)(4,7.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-1)(4,7.25)
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\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,3)(1,6)
\uput[dr](0,3){K}\uput[dr](1,6){F}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.95}{2.71828 x exp 3 mul}
\psplot{-1.33}{1.66}{3 x mul 3 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}