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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie I}

\medskip 

Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ : 

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\medskip
 
\textbf{Partie II} 

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv d'unité graphique 1~cm.
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. Placer le point A dans le repère \Ouv.
 \item Soit $R$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = \left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est cette transformation $R$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item  On appelle B l'image du point A par la transformation $R$. On note $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$. Placer le point B dans le repère \Ouv. 
		\item  Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 2\sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle C l'image du point A par la transformation $T$. On note $z_{\text{C}}$ l'affixe du point C. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{C}}$. Placer le point C dans le repère \Ouv. 
		\item  \emph{Dans cette question, toute rédaction, même partielle, sera prise en compte.}
		 
Quelle est la nature du quadrilatère OCAB ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) : 

\[y'' + 4y = 0.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie : $f(0) = \dfrac{1}{4}$ et $f'(0) = 0$. 
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = 3 \sin x$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$. 
\item Pour tout nombre réel $x$, on définit la fonction $h$ par : 

\[h(x) = 3\sin x + \dfrac{1}{4}\cos 2x.\]
 
Calculer $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 

\item Questionnaire à choix multiples :
 
\emph{pour chaque question, il y a une seule réponse exacte; recopier la réponse exacte sur la copie. Chaque réponse exacte rapporte $0,5$ point. Aucune justification n'est demandée.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la valeur de $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\triangleright~$ 	3&$\triangleright~$ $- \dfrac{1}{4}$&$\triangleright~$ $\dfrac{11}{4}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item  Quelle est la valeur moyenne de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
$\triangleright~$$-\dfrac{3}{\pi}$&$\triangleright~$$0$&$\triangleright~$ $\dfrac{6}{\pi}$\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item  Combien l'équation $h(x) = 0$ admet-elle de solutions dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}  
$\triangleright~$0&$\triangleright~$1&$\triangleright~$2\\
\end{tabularx} 

\medskip 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
La courbe $\mathcal{C}$ tracée sur l'annexe ci-jointe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 

La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en O et au point A de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;~0\right)$. 

On admet que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $\dfrac{1}{2}$ et $3$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
 
La droite $\Delta$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point O et passe par le point B de coordonnées $(-1~;~ 3)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie I Exploitation graphique de la courbe}\boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\item Donner le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\item Donner les valeurs $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'(3)$. 
\item Donner une équation de la tangente $\Delta$. En déduire $f'(0)$. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \left(2x^2 - 3x\right)\text{e}^{-x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Justifier la réponse. 
\item Justifier que pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \dfrac{2x^2}{\text{e}^x} - \dfrac{3x}{\text{e}^x}$ puis déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
 
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \left(-2x^2 + 7x - 3\right)\text{e}^{-x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie III Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$. Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [2~;~3]. 
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(-2x^2 - x - 1\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Sur l'annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$. 
		\item  Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis donner une valeur approchée au centième de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\vspace*{4cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.15cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,0){O} \uput[u](1.5,0){A} \uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$}\uput[ur](-1,3){B}\uput[d](0.75,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$}\uput[u](0.5,0){$\dfrac{1}{2}$}
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\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)\uput[r](-0.625,4.9625){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(1.5,0)(-1,3)
\psplot{-1.333}{0.41}{3 neg x mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.628}{4}{x dup mul 2 mul 3 x mul sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}