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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2004 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On considère les nombres complexes :

\[z_1 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \qquad	z_2 = 
	4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}} \qquad 	z_3  = 2 - 2\text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_3$.
\item Écrire $z_2$ sous forme algébrique.
\item Placer, dans le repère \Ouv, les points A, B, C d'affixes respectives $z_1,~z_2 ,~z_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_2}{z_1}$.
		\item En déduire qu'il existe une rotation de centre O qui transforme A en B. On  précisera l'angle de cette rotation.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point d'affixe $z_4 = z_3\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer D dans le repère \Ouv{} en expliquant la construction.
		\item Écrire $z_4$ sous forme algébrique.
		\item Écrire $z_4$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation
    différentielle $y'+ y = 0$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation précédente telle  que $f(0) = 1$.
		\item Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de  $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = f(n) = \text{e}^{-n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.
		\item Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $u_{n} < 10^{-8}$ ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, en fonction de $n$, la somme $S_{n} = 0 + 1 + 2 +  \ldots + n$.
		\item En déduire, en fonction de $n$, l'expression du produit $P_{n} = u_{0} \cdot u_{1} \cdot u_{2} \ldots u_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la 
copie} \end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A  :  détermination d'une fonction. Tangente à une courbe}

\medskip

\Oij{} est le repère orthonormal, d'unité graphique $4$~cm, donné en annexe.

La courbe $\mathcal{G}$, déjà tracée, représente une fonction $g$ de la  variable $x$ définie sur $[0~;~+ \infty[$  par
$g(x) = ax^2 + bx + c$ où $a,~b,~c$ sont des coefficients réels.

 $\mathcal{G}$ passe par les points E$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ 	A$(1~ ;~- 1)$ et B$(0~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des renseignements ci-dessus, écrire un système de trois équations vérifiées par $a,\: b$ et $c$.
		\item En déduire que, pour tout nombre réel positif $x,\: g(x) = - 2x^2 + 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{G}$ coupe l'axe des abscisses au point K. Déterminer la valeur exacte de l'abscisse de K.
		\item Écrire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{G}$ au point K et tracer $\mathcal{T}$ sur le graphique de l'annexe. On indiquera les points utilisés pour tracer $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction et tracé d'une courbe}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 1 - 2x^2 + 
\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij{}
donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item En remarquant que $f(x)$ peut aussi s'écrire sous la forme
		
$f(x) = 1 + x\left(- 2x + \dfrac{\ln x}{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la dérivée de $f$.
		\item Étudier le signe de cette dérivée sur $]0~ ;~ + \infty [$. Justifier.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty [$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{G}$.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{G}$ sur $]0~;~+ \infty [$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique après avoir complété le tableau de valeurs de $f$ donné en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par $\mathcal{G},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations
$x = \dfrac{1}{\text{e}^2}$ et $x  = 1$.

Hachurer $\mathcal{E}$.
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~ ;~ + \infty [$ par  $H(x) = x - 
x \ln x$. Déterminer la dérivée de $H$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en explicitant le calcul, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{E}$ en unités d'aire.
		\item Écrire l'arrondi au centième de l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Cette feuille annexe est à rendre avec la copie}

\textbf{Annexes du problème}

\vspace{0,6cm}
\psset{unit=2.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(4,2)
\psgrid[griddots=15,gridlabels=0pt](0,0)(-0.5,-3)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-3)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){B} \uput[ur](0.5,0.5){E} 
\uput[ur](0.707,0){K} \uput[ur](1,-1){A}
\qdisk(0,1){1.5pt} \qdisk(0.5,0.5){1.5pt} 
\qdisk(0.707,0){1.5pt} \qdisk(1,-1){1.5pt} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.414}{1 x 2 exp 2 mul sub}
\end{pspicture}

\vspace{0,6cm}
Tableau de valeurs de $f$

\[\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}    $x$ & $\dfrac{1}{\text{e}^2}$ & $\dfrac{1}{\text{e}}$&$\dfrac{1}{2}$ &
    $\dfrac{3}{4}$ & 1& $\dfrac{5}{4}$& $\dfrac{3}{2}$\\ \hline
$f(x)$ & & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]
\end{center}
\end{document}