\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). Soient les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres $z_{1}$ et $z_{2}$.
		\item Placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $Z$ le nombre complexe tel que $Z = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}$.

Écrire $Z$ sous forme exponentielle, en déduire une mesure en radians de l'angle $\theta$ de la rotation de centre O qui transforme A en B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $Z$ sous forme trigonométrique.
		\item En utilisant les formes algébriques de $z_{1}$ et $z_{2}$, déterminer la forme algébrique de $Z$.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$  et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un commercial vend entre $0$ et $4$ voitures d'un certain modèle en une semaine. Soit $X$ la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de voitures vendues. $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de voitures vendues&	0	&	1	&	2	&	3	& 	4\\ \hline
$p(X = k)$				&0,26	&0,23	&		&0,15	&0,05\\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine.
\item Justifier que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à $0,51$.
\item Donner une représentation graphique de la fonction de répartition $F$ de cette loi dans un repère convenablement choisi.
\item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le nombre moyen de voitures vendues en une année (c'est-à-dire 52 semaines).
\item Le prix de vente d'une voiture est de \np{13 500} \euro. Le vendeur perçoit une commission de 0,4\,\% sur le prix de vente pour chaque voiture vendue. Déterminer le montant moyen de la commission perçue en un an.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de $f$ qui ont permis d'obtenir une partie de la courbe $(\mathcal{C})$, représentative de la fonction $f$, et sa tangente (T) au point O (voir feuille annexe).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\item On admet que l'expression de $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax + b - \ln (10x + 1)$ où 
$a$ et $b$ sont des réels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ en fonction de $a$.
		\item En utilisant les résultats du 1., déterminer les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle I = $]-0,1~;~10]$ par 

\[f(x) = 0,5x - \ln(10x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to - 0,1 \\ x > - 0,1}} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ représentant $f$ ?
\item Calculer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $5x - 9,5$ sur l'intervalle I.

Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ a dans l'intervalle [6~;~10] une solution unique, que l'on notera $\alpha$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle I = $]- 0,1~;~10]$ par :

\[F(x) = 0, 25x^2 + x - (x + 0,1)\ln(10x + 1)\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
		\item Calculer l'intégrale J $= \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte.
		\item On considère dans le repère défini initialement, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y)$  tels que :
		 $\left\{\begin{array}{l c l c l}
0& \leqslant& x & \leqslant & 1\\
f(x) &\leqslant& y & \leqslant  & 0\\
\end{array}\right.$

Utiliser la question précédente pour déterminer l'aire $\mathcal{A}$  en cm$^2$ de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe (problème)}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(7,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4](0,0)(-1,-6)(7,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-6)(7,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(-0.106,1)(0.63,-6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.065}{6}{0.5 x mul x 10 mul  1 add ln sub}
\uput[u](0.5,0){0,5} \uput[d](4,-1.75){\blue $(\mathcal{C})$}
\uput[l](0,-4.75){$-4,75$} \uput[dr](0.5,-4.75){M}
\uput[r](0.55,-5.25){(T)} \uput[d](7,0){$x$} \uput[r](0,1){$y$}
\psset{linewidth=2pt}
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(0.5,-4.75)(0,-4.75)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 