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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation, d'inconnue $z$ :
 
\[z^2 -  2z\sqrt{2} + 4 = 0.\]
 
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Construire le cercle de centre O et de rayon 4~cm, puis placer les points A et B dans le repère \Ouv{} précisé ci-dessus.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \text{i}z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
		\item Le point C est l'image du point A par la transformation $R$.
	 
Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. Placer ce point C dans le repère précédent. 
		\item Montrer que le point C est le symétrique du point B par rapport au point O.
	\end{enumerate} 
\emph{Dans cette question, toute rédaction,  même partielle, sera prise en compte dans 
l'évaluation.} 

\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Un sac contient 4 boules indiscernables au toucher : une jaune, une rouge, une verte et une noire notées respectivement : J, R, V et N. 

\medskip

Dans une fête foraine, un jeu est organisé de la manière suivante: 

On tire au hasard une première boule du sac ; on note sa couleur et on la remet dans le sac. On effectue ensuite un deuxième tirage au hasard, indépendant du premier, dont on note également la couleur.
 
Ces tirages sont équiprobables.

\medskip
 
On appelle résultat un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage et le second élément est celle de la boule obtenue au second tirage.

\textbf{Exemple : Le résultat du tirage de la boule rouge suivie de la boule verte se note (R~;~ V).}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des résultats possibles. 
\item Calculer la probabilité du résultat (N~;~N). 
\item Pour jouer, on doit miser 20~euros.
 
Une boule jaune rapporte 20~euros, une boule rouge 12~euros, une boule verte 5~euros et une boule noire ne rapporte rien.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le bénéfice ou la perte réalisé par le joueur, un bénéfice étant compté positivement et une perte négativement.
 
\textbf{Exemple : le résultat (R~;~ V) rapporte au joueur 17~euros. Il perd dans ce cas 20 - 17 = 3 euros. La valeur de $X$ correspondant à ce cas est donc $-3$.}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour le résultat (J~;~R), la variable aléatoire $X$ prend la valeur $12$.
		\item Indiquer dans un  tableau les résultats obtenus dans la question 1 en y mentionnant les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Montrer que la probabilité que $X$ prenne la valeur 12 est égale à $\dfrac{1}{8}$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$, par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 4. \]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \OIj{} (unités graphiques : 4~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées). 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on précisera une équation. 
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x ~: f(x) = \text{e}^{x} \left(\text{e}^{x}  - 5\right) + 4$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty. 	
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f'$la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout nombre réel $x$, calculer $f'(x)$.
		 
Montrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) =\text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right)$. 
	\item Résoudre dans  l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2\text{e}^{x} - 5 = 0$. 
		
Résoudre ensuite dans $\R$ l'inéquation $2\text{e}^{x} - 5 > 0$. 
	\item En déduire les variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution sur l'intervalle [1~;~2].
 Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le point O appartient à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item  Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point O. 
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère \Oij{} l'asymptote $D$ la droite $\Delta$ et, sur l'intervalle $[-2,5~;~2]$, la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PARTIE B : Calcul d'aire }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right]$ ?
\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur  $\R$. 
\item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$,  la droite d'équation 

$x = \ln \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur  le graphique précédent. 
		\item Calculer l'aire exacte du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$, puis donner une valeur approchée au centième de cette aire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}