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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\[4pt] juin 1999}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\medskip

Soit le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par :

\[P(z) = z^3 - z^2 + 4z + 48.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $-3$ est une racine de $P$.
		\item En déduire une factorisation de $P$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité $1$~cm. 

Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 4, leurs affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ ont pour arguments : $\dfrac{\pi}{3}$ et $- \dfrac{\pi}{3}$.

Le point C a pour affixe $z_{3} = -3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces trois points.
		\item  Donner, sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les affixes de A et B.
		\item  Calculer $\left|z_{1} - z_{3}  \right|$.
		\item  Calculer alors, en arrondissant au degré près, l'angle $\widehat{\text{OAC}}$.
		
On rappelle la formule suivante, dans un triangle PQR : 

\[\text{PQ}^2 = \text{PR}^2 + \text{RQ}^2 - 2 \times \text{PQ} \times \text{RQ} \cos \widehat{\text{R}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle suivante, où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ : 

\[9y'' + 16y = 0.\]

\item  Déterminer la fonction $f$ de léquation différentielle qui vérifie : 

\[f(3\pi) = 3\sqrt{3}\quad \text{et} \quad f'(0) = 4.\]

\item  Montrer que, pour tout réel $t$, 

\[f(t) = 6\cos \left(\dfrac{4}{3}t - \dfrac{\pi}{6} \right).\]

\item  Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[f(t) = 3\sqrt{3}.\]

\item Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions de l'équation précédente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\medskip

Soit la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unité $5$~cm sur l'axe des abscisses et de $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

Pour établir la limite en $+ \infty$, on pourra transformer l'expression de $f(x)$ en la factorisant par $e^x$.

		\item Déduire de la question précédente que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $f$ sur $\R$. Dresser le tableau de variations de $f$.

		\item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec les axes du repère ; on notera A le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

		\item  Établir une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A.

		\item  Tracer $\mathcal{C}$, $D$ et $T$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre léquation $f(x) = - 3$.

		\item  Soit $m$ un nombre réel. Discuter graphiquement, suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation : $f(x) = m$.

		\item  Résoudre graphiquement, en rédigeant la méthode, l'inéquation : 
		
		$f(x) > - 3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive de $F$ de $f$.
		\item  On admet que sur $[-2~;~0],{}\mathcal{C}$ est situé en-dessous de $D$. En déduire l'expression de l'aire $s$ de la partie du plan limitée par les droites d'équation $x = - 2$ et $x = 0$, par la courbe $\mathcal{C}$, et par la droite $D$, puis calculer $s$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}