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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt]  juin 2008}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{center} 
\textbf{Questionnaire à choix multiples} \end{center}
 
Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses \textbf{a,~  b} ou \textbf{c} est exacte. 

Indiquer sur la copie le numéro de la question  et la lettre correspondant à la réponse choisie. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
Notation : \emph{une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.}

\medskip

On définit la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x)  = 2\text{e}^{- \frac{1}{2}x}.\]
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
 
On note A et B les points de coordonnées respectives $(-3~ ;~ 0)$ et (0 ; 2).
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}$, 
\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~$] l'axe des ordonnées, 
\item[$\bullet~$] la droite d'équation : $x  =  2$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1.25)(4.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-5,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-1.25)(4.5,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psline(2,0)(0,0)}
\uput[ur](-1,3.25){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](0,2){B}
\rput(1,0.5){$\mathcal{D}$}\uput[dr](0,0){O}

\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.43}{4.5}{2 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psline(-3,0)(0,2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Question 1 :}
 
La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E) : 

\textbf{Réponse a.~~} : (E) : $2y'+ y =  0$

\textbf{Réponse b.~~} : (E) : $2y'  - y = 0$

\textbf{Réponse c.~~} : (E) : $y' - y = 0$. 

($y$ désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable $x~;~y'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$.)

\bigskip
 
\textbf{Question 2 :}

La courbe $\mathcal{C}$ a pour asymptote la droite d'équation : 

\textbf{Réponse a.~~} :  $y =  - 2x$ ;

\textbf{Réponse b.~~} : $x = 0$ ;

\textbf{Réponse c.~~} : $y = 0$.

\bigskip
 
\textbf{Question 3 :}

La tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation :
 
\textbf{Réponse a.~~} : $y =- 2x + 2$ ;

\textbf{Réponse b.~~} : $ y = - x+ 2$ ;

\textbf{Réponse c.} : $y = x + 2$. 

\bigskip
 
\textbf{Question 4 :}

On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine $\mathcal{D}$ autour de l'axe des abscisses. 

La valeur V du volume du solide S est donnée par :
\[ \text{V} = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x \quad 	(\text{en unités de volume}).\] 

La valeur V du volume du solide S, en cm$^3$ est égale à :
 
\textbf{Réponse a.~~} :  $4\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ;
 
\textbf{Réponse b.~~} : $16\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ;

\textbf{Réponse c.~~} : $32\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les nombres complexes suivants
 
\[Z_{1} =  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}, ~~Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}} ~\text{et}~ Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $Z_{1}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire le nombre complexe $Z_{2}$ sous forme algébrique et montrer que : $Z_{2} = \overline{Z_{1}}$. 
		\item  Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $Z_{2}$.  
	\end{enumerate}
\item Écrire le nombre complexe $Z_{3}$ sous forme algébrique. 
\item On note $Z$ le nombre complexe défini par : $Z=  Z_{2}Z_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z$. 
		\item Écrire le nombre complexe $Z$ sous forme algébrique. 
		\item En déduire les valeurs exactes des nombres réels $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 11 points}

\medskip 
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x)  = a \ln x +  bx + \dfrac{c}{x}\]

où $a$,\: $b$  et $c$ sont trois  nombres réels à déterminer. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
 
On a représenté la fonction $f$ sur la feuille annexe dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$. 

On note T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. La tangente T passe par l'origine O du repère.
 
La tangente \`a la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{PARTIE A}
 
\textbf{Recherche de l'expression  de}\boldmath $f(x)$\unboldmath\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1),~f'(1)$ et $f'(2)$. 
\item Déterminer $f'(x)$, en fonction de la variable $x$ et des nombres réels $a,~ b$ et $c$. 
\item Exprimer $f(1),~f'(1)$ et $f'(2)$ en fonction des nombres réels $a, ~b$ et $c$. 
\item En utilisant les réponses aux questions 1. et 3., montrer que les nombres réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système $S$ suivant : 
 
\[S : \quad \left\{ \begin{array}{r c l}
b + c&=&1\\
a + b - c&=&1\\
2a + 4b - c&=&0 \\
 \end{array}\right.\]
  
\item Résoudre le système $S$. En déduire une expression de $f(x)$.

\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{PARTIE B} 

\textbf{Étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath \end{center}
 
Dans la suite du problème la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~\infty[$ par : 
\[f(x) = 8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}.\] 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer par calculs la limite de $f$ en $+ \infty$ (on peut factoriser $f(x)$ par $x$). 

\item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 

En écrivant $f(x)$ sous la forme d'une seule fraction, déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. 

\item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~\infty[$ : 

\[f'(x) = \dfrac{(3x - 2)(2 - x)}{x^2}.\] 

Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (justifier avec soin le signe de $f'(x)$.)
 
Montrer que, sur l'intervalle [4~ ;~5] l'équation  $f(x) = 0$ a une unique solution. notée $\alpha$. 

Justifier l'encadrement de la solution $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ suivant :

\[ 4,07 < \alpha < 4,08. \]
\end{enumerate}


\begin{center} \textbf{Feuille annexe}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1.25)(8,5.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1.25)(8,5.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](3.5,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dr](3,3){T}\uput[dr](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-1,-2)(8,6)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.22}{4.96}{x ln 8 mul 4 x div add x 3 mul sub}
\psline(-1,-1)(5,5)
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}