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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Une agence de voyage propose trois durées de séjours - un week-end, une semaine, ou deux semaines - et deux types de destination - France ou Étranger.
 
Parmi les dossiers de l'agence, on constate que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 60\,\% de séjours ont lieu en France; 
\item 20\,\% des séjours en France durent deux semaines; 
\item pour les séjours en France, il y a deux fois plus de séjours d'un week-end que de séjours d'une semaine ; 
\item 75\,\% des séjours à l'étranger durent deux semaines ; 
\item il y a autant de séjours d'un week-end que de deux semaines.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  L'agence a traité 250 dossiers. Reproduire puis compléter le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&France &Étranger 	&Total \\ \hline
Le week-end		&		&			&\\ \hline 
La semaine		&		&			& \\ \hline 
Deux semaines	&		&			&\\ \hline 
Total			&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

\item On choisit un dossier au hasard parmi les 250 dossiers traités. Calculer la probabilité des évènements suivants (on exprimera les résultats sous forme de fractions) : 
	\begin{enumerate}
		\item F : \og le dossier choisi est, celui d'un séjour en France \fg{} ; 
		\item S : \og le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines \fg{}; 
		\item Sachant que le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines, quelle est la probabilité qu'il soit celui d'un séjour en France ?
	\end{enumerate}
	 
Dans la suite, on considère que la probabilité pour un client de choisir un séjour d'un week-end ou de choisir un séjour de deux semaines est la même, égale à $0,42$.
 \item Le traitement d'un dossier par l'agence a un coût : appels téléphoniques, recherches, temps passé, \ldots
 
Les frais de dossier s'élèvent pour l'agence à :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 euros pour un séjour d'un week-end ; 
\item 5 euros pour un séjour d'une semaine ; 
\item 15 euros pour un séjour de deux semaines ; 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque type de dossier associe son coût. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer E($X$), espérance mathématique de $X$. On fera apparaître de façon détaillée l'application de la formule donnant E($X$). 
		\item Par souci de commodité, l'agence demande une somme forfaitaire à chaque client quelque soit le type de séjour qu'il a choisi.
		 
Quelle somme doit-elle demander à chaque client pour espérer rentrer au moins dans ses frais ? Expliquer cette réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.

 Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse sur la copie.
  
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse est comptée 0 point.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nombre complexe $z = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ a pour module et argument respectivement : 

\textbf{Réponse A :} 1 et $\dfrac{\pi}{6}$ ; 
 
\textbf{Réponse B :} 2 et  $\dfrac{\pi}{3}$ ;

\textbf{Réponse C :} 4 et $-\dfrac{\pi}{3}$ 

\item Le plan complexe est rapporté au repère \Ouv.
 
Le point d'affixe $1 + \text{i}$ appartient:

\textbf{Réponse A :} au cercle de centre O et de rayon 1 ; 

\textbf{Réponse B :} à la droite d'équation $y =-x$ ;

\textbf{Réponse C :} au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$. 

\item Une solution de l'équation $\dfrac{z - \text{i}}{z + \text{i}} = - \text{i}$ 	 est : 
 
\textbf{Réponse A :} 1 ;  \textbf{Réponse B :} i ;   \textbf{Réponse C :} $0$.

\item   L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que : $\left|z +  \text{i}\right| = \left|z -  1\right|$ est : 

\textbf{Réponse A :} la droite d'équation $y = x -1$ ; 

\textbf{Réponse B :} la droite d'équation $y = -x$ ;
 
\textbf{Réponse C :} la droite d'équation $y = x$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = a \dfrac{\ln x}{x} + b,\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à  déterminer.
  
$f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm.
 
On a représenté la courbe $\mathcal{C}$, sur la feuille annexe.
 
La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1~;~2) ; elle coupe l'axe des ordonnées au  point de coordonnées (0~;~1).

\medskip
 
\textbf{Partie A : recherche de l'expression de} \boldmath $f(x)$ \unboldmath

En utilisant le graphique de la feuille annexe,

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
\item Déterminer $f'(x)$, en fonction de la variable $x$, du nombre réel $a$ et du nombre réel $b$ si besoin. 
\item Utiliser les deux questions précédentes pour déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}  \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Dans la suite du problème, la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, la limite de $f(x)$ en $O$. 

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ dont on donnera une équation. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par le calcul, que la droite $D$, d'équation, $y = 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier par le calcul la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Tracer la droite $D$ sur la feuille annexe.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer $f'(x)$. 
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ en justifiant avec soin le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par 

\[g(x) = (\ln x)^2\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
 
En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On considère le domaine du plan $S$ délimité par la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$.
 
Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire du domaine $S$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(7,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-1.5,-2)(7,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-1.5}{4.5}{x 1 add}
\psline(-1.5,2)(7,2) \uput[d](7,2){$D$}
\psline(1,-1)(1,4) \psline(2.71828,-1)(2.71828,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{0.3}{7}{x ln x div 2 add}
\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,5.5){$y$}\uput[dr](4,5){$T$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](7,2.35){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}