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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\[5pt]23 juin 2009}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la fi\-gure 1 (vue de dessus de la piscine), où \Oij{} est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : $\widearc{\text{AB}}$ de centre O et de rayon 3, et $\widearc{\text{CD}}$ de centre O$'$ et de rayon 4, reliés par deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8]. 

\medskip
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(13,5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-5)(13,5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](13,0){$x$} 
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,-1)(8,-1)
\psline(8,0)(9.71,4.698) \psline{->}(9.71,4.698)(9.368,3.759)\rput{70}(9.3,4.5){$R = 4$}
\psarc(0,0){3}{90}{-90}
\psarc(8,0){4}{-90}{90}
\uput[ul](0,3){A} \uput[dl](0,-3){B} \uput[dr](8,-4){C} \uput[ur](8,4){D} 
\uput[d](4,-5){figure 1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](8,0){O$'$} \uput[u](4,-1){8}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add neg}
\psline[linestyle=dashed](8,-5)(8,5)\psline[linestyle=dashed](5,4)(8,4) \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)
\uput[u](4,3.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](4,-3.5){$\mathcal{C}'$} 
\SpecialCoor
\psline(0;0)(4;160) \rput{-20}(-3.8,1){$r = 3$}\psline[linewidth=1pt]{->}(4;160)(3;160)
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A d'abscisse $0$, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $f(0),~ f(8),~ f'(0)$ et $f'(8)$. 
		\item On suppose qu'il existe quatre nombres réels $a,~ b,~ c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$  de l'intervalle [0~;~8],{}$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 
	
Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a,~ b,~ c,~ d$ et $x$. 
		\item Déduire des questions précédentes que $c = 0$ et $d = 3$ et que les réels $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
512a + 64b	&=	&1\\ 
192a + 16b	&=	&0\\
\end{array}\right.$. 
		\item Résoudre le système précédent. 
	\end{enumerate}
\item Par la suite, on admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8],

$f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64} x^2 + 3$, et que $f$ est strictement positive sur [0~;~8]. 

\medskip

Le but de cette question est de déterminer l'aire de la piscine, en m$^2$, sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer une démarche qui permet d'obtenir l'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte. 
	\item Calculer, en m$^2$, la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner également la valeur arrondie à 0,1 m$^2$ de cette aire. 
	\end{enumerate}
\item La profondeur d'eau de cette piscine est constante, égale à 1,60~m. Calculer, en m$^3$, la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donner également la valeur arrondie au m$^3$ de ce volume. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 5~cm. 
 
On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i})$, où i désigne le nombre  
complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip 

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 
		\item Déterminer un argument de $z_{\text{B}} $. 
		\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$, et placer les points A et B. 
		\item Soit I le milieu du segment [AB] et $z_{\text{I}}$ son affixe. Placer I sur la figure et prouver que $z_{\text{I}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\text{i}$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance OI, et prouver que OI $ = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.  
		\item Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$. En déduire un argument 
de $z_{\text{I}}$. 
		\item Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{I}}$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$  est  	$\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} -x + 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par 

\[g(x) =  1- \ln x - x^2.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item  Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement cette limite.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.  
		\item Établir le tableau de variations complet de la fonction  $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$. 
		\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$, tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse e.
	 
On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) =  0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ]0~;~1[. 
		
On appelle B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$ .
	\end{enumerate} 
\item Dans le repère \Oij, placer les points A et B puis tracer les droites $\mathcal{D}$,~$\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}
\end{document}