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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}%
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2005 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt] Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil}}
\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la
  disposition des candidats.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{}, unité graphique $2$\ cm.

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolution d'une équation.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
\[  z^2 - 2 \sqrt{3}z + 4 = 0\]
		\item Calculer le module et un argument de chacune des solutions.
	\end{enumerate}

  Soient $A$ et $M$ les points d'affixes respectives
  $a = \sqrt{3}+\mathrm{i}$ et $m=\sqrt{3}-\mathrm{i}$.
\item Mise en place d'une configuration géométrique.
	\begin{enumerate}
		\item Placer $A$ et $M$ dans le repère \Ouv{}, en indiquant une
    méthode de construction.
		\item On appelle $B$ et $C$ les points d'affixes respectives
    $b=\mathrm{i}a$ et $c=\mathrm{i}b$.
    
    Calculer $b$ et $c$ sous forme algébrique, puis placer $B$ et $C$   dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
		\item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un carré. Placer $D$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item Soient $N$ et $P$ les points d'affixes respectives
  $n= \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}m$ et
  $p= \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}n$  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $n$, puis démontrer que
  $P = C$.
		\item Démontrer que le triangle $MNP$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Calculer en cm$^2$ l'aire du carré $ABCD$, puis l'aire du
 triangle $MNP$. On donnera les valeurs exactes puis les valeurs
 approchées à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : $1$ boule rouge, $3$ boules jaunes et $n$ boules noires.
 ($n$ désigne un entier naturel strictement positif).
 
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à
prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge,
le joueur reçoit 5~\euro{}, si la boule est jaune, il reçoit 2~\euro{}
et si la boule est noire, il reçoit 1~\euro{}. Pour participer au jeu,
le joueur doit acheter un billet d'entrée coûtant $1,70$~\euro{}.

On note $X_n$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c'est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, on suppose $n=6$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire
  $X_6$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable a aléatoire 
  $X_6$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X_6$.
	\end{enumerate}

\hspace{-0.5cm}Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que l'entier naturel $n$ est quelconque.
 
\item Étude de la variable aléatoire $X_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
  $X_n$.
		\item Déterminer en fonction de $n$ l'espérance mathématique de la
  variable aléatoire $X_n$
		\item Le club souhaite que l'espérance de $X_n$ soit strictement
  négative. Quel doit être le nombre minimal de boules noires
  contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{}, unités
graphiques : $2$~cm en abscisses et $1$~cm en ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$
par : 

\[f(x)=\dfrac{1}{x} + \ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le repère
\Oij{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item étude de la limite de $f$ en $0$
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat: $\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, déterminer la limite de $f$ en $0$.
		\item En déduire que $\mathscr{C}$ admet une asymptote dont on  donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
  $]0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$.
  \end{enumerate}
\item Tracer $\mathscr{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

$k$ désigne un entier naturel non nul. On appelle $g$ la
fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x)=\dfrac{1}{x} + k\ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}_k$ la courbe
représentative de $g$ dans le repère \Oij. En particulier la courbe
$\mathscr{C}_1$ est la courbe tracée à la fin de la première partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
  $]0~;~+ \infty[$
		\item Démontrer que $g'(x)$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{k}$. Exprimer
  $g \left(\dfrac{1}{k} \right)$ en fonction de $k$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+
  \infty[$ et dresser le tableau de variations de $g$. On admettra que
  $g$ admet en $0$ comme en $+ \infty$ les mêmes limites que $f$.
	\end{enumerate}
\item On pose $x_k=\dfrac{1}{k}$ et $y_k=g \left( \dfrac{1}{k}\right)$. On appelle $S_k$ le point de $\mathscr{C}_k$ de
  coordonnées~$\left(x_k~;~y_k\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(x_k\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(y_k\right)$.
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel non nul $k$, le point
  $S_k$ est situé sur la courbe $\Gamma$ d'équation $y= \dfrac{1+\ln x}{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$
  par :
   
\[H(x)= x \ln x - x.\]

Déterminer la fonction dérivée de $H$ et  en déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
\item Calcul d'aire.
  	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle
  $[1~;~2]$.
		\item Calculer l'aire du domaine plan compris entre la courbe
  $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$
  et $x = 2$. On donnera le résultat final arrondi au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 