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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un  repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 20z - 24.\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(3) = 0$. 
		\item Déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $P(z) = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right).$ 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation \mbox{$P(z) = 0$}.
	\end{enumerate} 
\item On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $a = 3,~b = 2 + 2\text{i}$ et $c = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $b$.
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $c$.
		\item Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle. 
  	\end{enumerate}
\item On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $|z - 3| = \sqrt{5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{E}$. 
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{E}$ et représenter cet ensemble sur le dessin.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

\medskip

On s'intéresse au jeu suivant :
 
Une urne (urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10. 

Une deuxième urne (urne 2) contient trois boules : une blanche (B), une jaune (J) et une rouge (R).

 Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'urne 2.
  
Un résultat possible est par exemple :
 
\og la boule 1 porte le \no  5 et la boule 2 est jaune \fg{} que l'on codera (5~;~ J). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dresser la liste de tous les résultats possibles. 

Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5~\euro ; 
\item[$\bullet~$]suite au résultat obtenu à  l'issue des deux tirages il gagne : 
	\begin{itemize}
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ; 
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ; 
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge. 
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le \og  gain réel \fg{} du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat (5~;~R) est 

$5 \times  3 - 5 = 10$~euros.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.
 
\item Quels sont les différents \og  gain réels \fg{} possibles du joueur ? 
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
\item S'il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] réponse A : être ruiné ? 
\item[$\bullet~$] réponse B : devenir riche? 
\item[$\bullet~$] réponse C : ni l'un ni l"autre ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
Quelle est ta bonne réponse ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Étude sommaire d'une fonction \boldmath $g$ \unboldmath}\end{center}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[g(x) =  \text{e}^{x^3 - x - 5}.\]

La courbe représentative de la fonction $g$ est notée $\mathcal{C}$ et est représentée sur la feuille annexe. 
 
Le dessin suggère que $g$ est croissante sur $\R$. On se propose dans cette partie de confirmer ou d'infirmer cette impression. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Étudier selon les valeurs du nombre réel $x$ le signe de $P(x) = 3x^2 -1$. 
\item Justifier que $g'(x)$ et $P(x)$ sont de même signe pour tout nombre réel $x$. 
\item En déduire le tableau de variations de $g$. (L'étude des limites n'est pas demandée.) 
\item Que penser des variations de $g$ suggérées par le dessin ? 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : Étude de quelques propriétés d'une fonction \boldmath $f$\unboldmath }\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
\[ f(x) =  -x\ln x +\dfrac{1}{3}x + 1.\]

La courbe représentative de $f$ est notée $\Gamma$, cette courbe est représentée sur la feuille annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$
		
$f'(x) = - \ln x - \dfrac{2}{3}$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'inéquation $f'(x) > 0$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (On ne demande pas de calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.) 
	\end{enumerate}
\item Calcul d'une aire 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = 2$, l'axe des abscisses, et la courbe $\Gamma$. 
		\item On note $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ {par 
	$H(x) = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2}$.
	 
Déterminer $H'(x)$ et en déduire une primitive de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer l'aire de la partie du plan hachurée exprimée en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C ; Résolution de l'équation \boldmath $f(x) = g(x)$ \unboldmath sur l'intervalle [1~;~2]}\end{center} 

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[1~;~2]$ par $h(x)=  g(x)- f(x)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2],  $h'(x) > 0$. 
\item En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~2]. 
\item Donner la valeur approchée arrondie au centième de cette solution. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=2.25cm}

\begin{pspicture}(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)


\multido{\n=-0.500+0.125}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-1.66666)(\n,2.66666)}
\multido{\n=-1.66666+0.16667}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{0.01}{3.2}{x 3 div 1 add x x ln mul sub}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,2.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](3,-1.15){$\Gamma$}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{0}{1.9975}{2.71828 x 3 exp x sub 5 sub exp}\uput[r](2,2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}