\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie mécanique, des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique Métropole juin 1999~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'expérience aléatoire suivante :

Une première urne contient cinq boules numérotées 0, 2, 4, 6, 8.

Une deuxième urne contient cinq boules numérotées 1, 2, 3, 4, 5.

On appelle \og partie \fg{} le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une \og partie \fg{} a donc 25 résultats possibles supposés équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier, puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$+$& 0& 2& 4& 6& 8\\\hline
1&&&&&\\ \hline
2&&&&&\\ \hline
3&&&&9&\\ \hline 
4&&6&&&\\ \hline 
5&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme égale à 7?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme paire?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme au plus égale à 6?
	\end{enumerate}
\item On considère le jeu suivant associé à chaque \og partie \fg{}. Un joueur gagne :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] 30~francs si la somme est paire ;
\item[ ] 100~francs si la somme est treize ;
\item[ ] 10~francs si la somme est 1, 3 ou 5 ;
\item[ ] et ne gagne rien dans les autres cas.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe son gain en francs.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner $100$ francs.
		\item Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		\item L'organisateur demande $20$~francs pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On donne l'équation différentielle : 

\[y''+ 36y = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la forme des solutions de cette équation différentielle.
\item Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la courbe représentative de f passe par le point G de coordonnées (0 ; p3) ;
\item la droite tangente à cette courbe au point G a pour coefficient directeur 6.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Vérifier que pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = 2\sin\left(6x + \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2 - 10x \text{e}^{- 2x}.\]

Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x) = 2 - \dfrac{10}{\text{e}^x} \cdot \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ 1$.
		\item En déduire que la courbe $(C)$ admet une asymptote $(D)$ dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :
		
\[f'(x) = (20x - 10) \text{e}^{- 2x}.\]
		
		\item Étudier pour tout réel $x$ le signe de $f'(x)$, puis établir le tableau de variations de $f$.
		\item En déduire que la courbe $(C)$ admet une tangente horizontale en un point B dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer dans le même repère \Oij{} l'asymptote $(D)$, la tangente $(T)$ et la courbe $(C)$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \left(- \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer sa fonction dérivée.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur la représentation graphique le domaine (A) du plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : 
		
$x = 0,\: x = 3$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine (A) exprimée en cm$^2$, puis en donner une valeur décimale approchée à 1 mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}