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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, des matériaux}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane  juin 2002~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, des matériaux}

\end{center} 

\bigskip

\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Un sac contient 100 boules. Sur chacune de ces boules est inscrit l'un des numéros \textcircled{0}, \textcircled{1},  \textcircled{2}, \textcircled{3} ou \textcircled{4}.\\
Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces boules suivant leur numéro.

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro inscrit sur la boule	&\textcircled{0}	&\textcircled{1}	&\textcircled{2}	&\textcircled{3}	& \textcircled{4}\\ \hline
Nombre de boules		&30	&25	&20	&15	&10\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

Un joueur tire au hasard une boule de ce sac.

On admet que tous les tirages sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $p_{n}$ la probabilité que ce joueur tire une boule portant le numéro $n$. Écrire les nombres $p_{0},~ p_{1},~ p_{2},~ p_{3}$ et $p_{4}$. Justifier que ces nombres sont, dans cet ordre, les cinq premiers termes d'une suite arithmétique dont on précisera la raison.
\item  On convient de la règle du jeu suivante :

Soit $n$ la numéro de la boule tirée par le joueur.

Si le numéro $n$ est impair, le joueur perd $n$ euros. Son gain est alors $- n$.

Dans tous les autres cas, le joueur gagne $n$ euros. Son gain est $n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que, à l'issue d'un tirage, ce joueur gagne au moins un euro ?
		\item  Quelle est la probabilité que, à l'issue d'un tirage, ce joueur perde au moins un euro ? 
		\item  On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque numéro de boule tirée, associe le gain du joueur. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère le nombre complexe $Z = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}$.

Calculer la forme algébrique de $Z$ ; en déduire le module et un argument de $Z$.
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives :

\[\dfrac{1 + \text{i}}{2}~\text{et}~\dfrac{1 - \text{i}}{2}\]

Le point I est le milieu du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et I.
		\item  Calculer l'affixe du point I.
	\end{enumerate}
\item  Soit C le point d'affixe :
 \[z_{\text{C}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point C.
		\item  Montrer que les points A, B et C sont situés sur un même cercle 	de centre I.
		
Construire le cercle et placer le point C.
		\item  Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textsc{Problème \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Le graphique est à complète, au fur et à mesure de la résolution du problème, et à rendre avec la copie.}

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.\\
L'unité de longueur est 2 cm.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de $\R$ par :

\[ f(x) = x^3\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
 
\medskip
 
\psset{unit=1.71429cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(-4,-2)(3,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.161}{2.71828 x exp x 3 exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\medskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
\item Déterminer les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en lesquels cette courbe admet une tangente de coefficient directeur égal à $0$. Tracer ces tangentes sur la feuille annexe
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ de $\R$ par 

\[g(x) = x^3\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. En déduire une équation d'une asymptote à $\mathcal{C}_{g}$.
		\item Calculer la limite de $g$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item  On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
		\item  Montrer que. pour tout nombre réel $x$ :

\[g'(x)  =  x^2\text{e}^{-x}(3 - x).\]

		\item  Étudier le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
		\item  Déterminer les variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ :

\[f(x) - g(x) = x^3 \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{2x} - 1\right)\]

		\item Étudier le signe de $f(x) -  g(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
		\item Comparer $f(0,0001)$  et $g(0,001)$ puis $f\left(- 10^{-4}\right)$ et $g\left(- 10^{-4}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un réel. On considère le point $M$ de coordonnées $(a ~;~f(a))$ et le point
$N$ de coordonnées $(- a ~;~g(- a))$.

Démontrer que le milieu du segment [$MN$] est le point O.
\end{enumerate} 

\bigskip

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

\emph{On admet dans la suite du problème que la courbe} $\mathcal{C}_{g}$ \emph{est la courbe symétrique de} $\mathcal{C}_{f}$ \emph{par rapport à l'origine du repère.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F$ est définie, pour tout $x$ de $\R$ par :

	\[F(x) = \left(x^3 -3x^2 + 6x - 6\right)\text{e}^x.\]
	
Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  Calculer les deux intégrales $\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\,\text{d}x$  et  $\displaystyle\int_{0}^1  f(x)\,\text{d}x$.
\item  Compléter le graphique par un dessin de $\mathcal{C}_{g}$.
\item  On considère la région $\mathcal{A}$ du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$  et les droites d'équation $x =  0$ et $x = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique.
		\item  Déduire de la question 2 la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}