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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génie mécanique, génie mécanique, génie des matériaux }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane  juin 2005~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, génie des matériaux}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note A et B les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 + 2\sqrt{3}\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 6 + 2\sqrt{3}\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item  Que vaut la distance OA ? En déduire une construction du point A. (On expliquera la méthode de construction utilisée)
		 
Placer le point B.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est isocèle. 
		\item Donner une mesure de chacun des angles de vecteurs $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OB}}\right)$. En déduire la mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{AOB}}$, puis la mesure de chacun des angles géométriques $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{OAB}}$.
	\end{enumerate}  
\item Soit F le point d'affixe $z_{\text{F}} = 4\sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point F. 
		\item Démontrer que le triangle OBF est équilatéral. 
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{F}}\right|$. Que représente le point A pour le triangle OBF ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans une foire un forain propose le jeu suivant.
 
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, puis on fait tourner une roue portant les numéros 0, 1, 2, 3. On obtient ainsi un couple $(a~;~b)$ où le nombre $a$ est lu sur la face supérieure du dé, le nombre $b$ est indiqué par la roue.
 
On suppose dans tout l'exercice que tous les couples $(a~;~b)$, avec $a \in  \{1,~ 2,~ 3,~4,~ 5,~ 6\}$ et $b \in  \{0,~ 1,~  2,~ 3\}$, ont la même probabilité d'être obtenus.
 
Le résultat du jeu est le nombre $a \times b$, produit des nombres $a$ et $b$ du couple $(a~;~b)$ obtenu.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau suivant et le compléter en indiquant les résultats possibles pour un jeu.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&\multicolumn{6}{|c|}{Nombre $a$ lu sur le dé :}  \\ \hline
Nombre $b$ lu sur la roue	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 \\ \hline 
0 							&	&	&	&0 	&	& \\ \hline
1 							&	&	&	&	&	&  \\ \hline 
2 							&	&	&6	&	&	&   \\ \hline 
3 							&	&	&	&	&15 &  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip


\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $A$ : \og Le résultat du jeu est un nombre qui appartient à l'intervalle [5~;~9]. \fg{} ; 
\item  $B$ : \og Le résultat du jeu a été obtenu à partir d'un numéro impair sur la roue. \fg{} ; 
\item $C = A ~\cap~ B$ ; 
\item $D = A ~\cup~ B$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Si le résultat du jeu est égal à 18, le joueur reçoit 10 \euro{}; si le résultat du jeu appartient à l'intervalle [10~;~17] , le joueur reçoit 5 \euro{}; si le résultat du jeu appartient à l'intervalle [5~ ;~9], le joueur reçoit 1 \euro{}; dans les autres cas le joueur ne reçoit rien et ne perd rien.
 
Soit X la variable aléatoire qui, pour chaque jeu, prend pour valeur la somme reçue par le joueur.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique, notée $E(X)$, de la variable aléatoire $X$. 
		\item Sur l'ensemble de la durée de la foire, le forain compte avoir \np{2000}~participants à ce jeu. 
		
S'il demande 2 \euro{} de participation à chaque joueur, quel gain net pourra-t-il espérer à l'issue de la foire ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées.
 
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout nombre réel $x$, par :
 
\[f(x) = 2x\text{e}^x - x^2 - 2x \quad  \text{et} \quad  g(x) = - x^2 - 2x.\]
 
On nomme $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$ relativement au repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ et sa limite en $- \infty$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Donner le tableau des variations de la fonction $g$^.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ non nul, $f(x) = x^2\left(2\text{e}^x - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la 
fonction $f$ en $+\infty$. 
		\item  Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = 2(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation : $\text{e}^x - 1  \geqslant 0$.
		
En déduire, à l'aide d'un tableau de signes, le signe de $f'(x)$ pour $x$ réel. 
		\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$ ; y faire figurer les valeurs exactes des extremums.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Tracé des courbes} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $(\mathcal{P})$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x$ réel, calculer $f(x) - g(x)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to  \infty} [f(x) - g(x)]$. Quelle conclusion peut-on en tirer pour les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ ? 
		\item  Étudier le signe de $f(x) - g(x)$ selon les valeurs du réel $x$. En déduire les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item On nomme $\alpha$ l'unique solution non nulle de l'équation $f(x) = 0$, et A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $\alpha$.
 
À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$. 
\item Recopier le tableau suivant et le compléter avec les valeurs approchées décimales de $f(x)$ et $g(x)$ arrondies à $10^{-2}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2,5$	&$-2$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1 \\ \hline
$f(x)$ 	&		&		&		&		&	&	&  \\ \hline
$g(x)$	&		&		&		&		&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le repère \Oij, placer le point A défini à la question C. 2., puis tracer les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D - Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie par : pour tout nombre réel $x,~ h(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ sa fonction dérivée. Pour tout $x$ réel, calculer $h'(x)$.
		\item En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction : $x \longmapsto - 2x \text{e}^x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{S}$ la surface plane délimitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ et les droites d'équations respectives $x = -1$ et $x = 0$. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la surface $\mathcal{S}$.
 
Hachurer la surface $\mathcal{S}$ sur le graphique de la partie C.
 
Calculer $\mathcal{A}$. En donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}