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%Tapuscrit : Laïdi Ben Haddou avec nos remerciements
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note $\text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$~:
		
\[z^2 - 2z + 4 = 0\]

On notera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive, $z_2$ celle dont la partie imaginaire est négative.
		\item Déterminer le module et l'argument de $z_1$ et $z_2$.
		\item Soit $z_3 = \dfrac{4z_2}{z_1}$. Donner la forme algébrique de $z_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\text A$, $\text B$ et $\text C$ les points du plan complexe d'affixes respectives~: $z_\text A = 1 + \text i \sqrt3$~; $z_\text B = 1- \text i \sqrt3$~; $z_\text C = -2- 2\text i \sqrt3$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $\text A$, $\text B$, $\text C$.
		\item Justifier que les points $\text O$, $\text C$ et $\text A$ sont alignés.
		\item Démontrer que le triangle $\text{ABC}$ est isocèle de sommet principal $\text B$.
		\item Soit $\text D$ le point du plan tel que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme. Calculer l'affixe du point $\text D$.
		\item Démonter que les droites $(\text{OA})$ et $(\text{BD})$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques cylindriques de longueur $L$ et de diamètre $D$.
\begin{enumerate}
\item On prélève un lot de \np{1000} pièces dans la production. On constate que~:
	
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item 40 pièces ont une longueur non conforme~;
	\item 30 pièces ont un diamètre non conforme~;
	\item 10 pièces ont une longueur et un diamètre non conformes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant~:
			
\medskip
			
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de pièces & ayant une longueur conforme & ayant une longueur non conforme & Total \\ \hline
au diamètre conforme &  &  &  \\ \hline
au diamètre non conforme &  &  &  \\ \hline
Total & & & 1000 \\ \hline
\end{tabularx}
		\item Dans le lot de \np{1000} pièces, quel est le nombre de pièces conformes, c'est-à -dire ayant une longueur conforme et un diamètre conforme~?
		\item On choisit une pièce au hasard parmi les \np{1000} pièces du lot précédent.
		\item Calculer les probabilités des évènements suivants~:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item $D_1:\text{\og la pièce a une longueur non conforme\fg}$~;
	\item $D_2:\text{\og la pièce a un diamètre non conforme\fg}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Définir par une phrase l'évènement $D = D_1 \cup D_2$. Calculer sa probabilité.
		\item On choisit une pièce ayant une longueur conforme. Calculer à  $10^{-3}$, la probabilité que son diamètre soit conforme.
	\end{enumerate}
\item On admet que dans cette partie la proportion de pièces fabriquées ayant une dimension non conforme est égale à  6\,\%. L'entreprise possède une machine de contrôle destinée à  rejeter les pièces ayant une dimension non conforme. Des tests ont montrés que cette machine accepte toutes les pièces conformes mais ne rejette que 75\,\% des pièces non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item On considère le même lot de \np{1000} pièces fabriquées. Recopier et compléter le tableau suivant~:
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|c|}\hline
				& Pièces conformes & Pièces conformes & Total \\ \hline
Pièces acceptées&  &  &  \\ \hline
Pièces rejetées & 0 &  &  \\ \hline
Total & & & \np{1000} \\ \hline
\end{tabularx}

		\item Le coût de fabrication d'une pièce (conforme ou non conforme) est de 15~euros. Son prix de vente est de 25~euros.

		 Une pièce conforme rapporte donc 10 euros et une pièce non conforme rejetée coûte 15 euros à  l'entreprise.

		On admettra qu'une pièce non conforme non rejetée est vendue 25~\euro, puis remplacée avec un coût supplémentaire pour l'entreprise de 30~\euro.

		Soit $X$ la variable aléatoire qui, à  chaque pièce choisie au hasard dans le lot de \np{1000} pièces, associe le gain (positif ou négatif) correspondant pour l'entreprise.
		\begin{enumerate}
			\item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
			\item Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
			\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de cette variable aléatoire.

En admettant que le lot étudié dans cet exercice soit représentatif de la production de l'entreprise, que représente $E(X)$ pour l'entreprise~?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2+(x+1)\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

On prendra pour unité graphique~: 2~cm.

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la forme développée $f(x) = 2 + x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à  la courbe $\mathscr C$ et donner une équation de cette asymptote.
		
Étudier la position de la courbe $\mathscr C$ par rapport à  celle de son asymptote $\Delta$
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	
Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\text{e}^{-x}$.
	
Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x,~f'(x) =  0$.
	 \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
	\item On appelle $\text T$ la tangente à  la courbe en son point d'abscisse $-1$.
	
Déterminer une équation de la droite $\text T$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $2 <\text e < 3$, justifier que $f(-2) < 0$.
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
		\item Déterminer, à  l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ au centième près par excès.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathscr C$ et les droites $\Delta$ et $\text T$ dans le plan muni du repère \Oij.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$, la fonction définie sur $\R$ par~: 

\[F(x) = 2x - (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
	
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\item Soit $\mathcal D$ le domaine délimité par la courbe $\mathscr C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \alpha$, $\alpha$ étant la valeur trouvée à  la question 4. de la partie A.
 	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique obtenu à  la question 6 de la partie A.
		\item Calculer, en fonction de $\alpha$, la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathcal D$.
		\item En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ déterminée dans la question A 5. c., donner une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}