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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie des  matériaux, génie mécanique B, C, D, E}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2006~\decofourright
\\[5pt]Génie des  matériaux, génie mécanique B, C, D, E\\ }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On désigne par (E) l'équation différentielle : $2y^\prime + y = 0$ où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que $f(0) =  0,5$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La direction d'un musée vient de faire l'acquisition d'une nouvelle statue et elle souhaite réaliser un socle en bois pour y déposer celle-ci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée sur la feuille annexe jointe.

Le socle est constitué de deux parties.


\begin{enumerate}
\item  La première partie est un cylindre de révolution de $0,50$~m de rayon et de $0,50$~m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m$^3$, du volume V$_{1}$ de cette première partie.
\item Le volume V$_{2}$ de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la
rotation autour de l'axe des abscisses, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ d'équation

$y = 0,5 \text{e}^{-0,5x}$	et les droites
d'équations $x = 0$ et $x = 0,5$.

On précise que la valeur exacte, en m$^3$, de ce volume est donnée par la formule :

\[\text{V}_{2}= \pi\displaystyle\int_{0}^{0,5} [f(x)]^2\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer V$_{2}$.
		\item En déduire que la valeur exacte, en m$^3 $, du volume du socle est :

\[\text{V} = \dfrac{\pi\left(3 - 2\text{e}^{-0,5}\right)}{8}.\]

		\item Donner la valeur arrondie du volume V à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante :

\[ \text{i}z =  - \sqrt{3} + \text{i}.\]

Exprimer la solution sous forme algébrique.
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}}$ défini par $z_{\text{A}} =2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
		\item En déduire que l'écriture algébrique de $z_{\text{A}}$ est $1  + \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par B et C les points dont les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sont définies par :

\[z_{\text{B}} = - z_{\text{A}}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = z_{\text{A}}^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item On note D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ définie par 
$z_{\text{D}} = \dfrac{4}{z_{\text{A}}}$.

Montrer que $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$.
\item On note E le point de la droite (AC) dont l'affixe $z_{\text{E}}$ est un nombre réel. Calculer $z_{\text{E}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On note I l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

On considère la fonction numérique $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :
 
\[f(x) = x^2+ ax + b - 2 \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). Soit A le point de coordonnées $(1~;~-3)$.

Calculer les valeurs respectives des nombres réels $a$ et $b$ pour que, d'une part la courbe $\mathcal{C}$passe par le point A et que, d'autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à $0$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numérique $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :

\[f(x) = x^2 - 4  - 2 \ln x.\]
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de I, on a 
$f(x) = x\left(x - \dfrac{4}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ de la fonction $f$  puis montrer que, pour tout
nombre réel $x$ de I, on a $f^\prime(x) =  \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$.
\item Étudier le signe de la fonction $f^\prime$ sur I et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur I.
\item Déterminer le signe de $f(x)$ quand le nombre réel $x$ appartient à l'intervalle [1~;~2].
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :
 
\[H(x) = x \ln  x - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $H^\prime(x)$ où $H^\prime$ désigne la fonction dérivée de $H$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur I.
\item On appelle $\Delta$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. Hachurer $\Delta$. Calculer la valeur exacte de l'aire de $\Delta$ en unités d'aire, puis en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

Annexe de l'exercice 1

\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(11,12)
\psset{arrowsize=2pt 4}
\pscurve(3,2.25)(3.2,1.9)(3.5,1.62)(4,1.4)(5,1.18)(6,1.06)(7,1)(8,1.06)(9,1.18)(10,1.4)(10.5,1.62)(10.8,1.9)(11,2.25)
\psellipse(7,9.5)(3,1)
\pscurve(3,5.95)(3.2,5.6)(3.5,5.32)(4,5.1)(5,4.88)(6,4.76)(7,4.7)(8,4.76)(9,4.88)(10,5.1)(10.5,5.32)(10.8,5.6)(11,5.95)
\pscurve(3,5.95)(3.2,6.45)(3.4,7)(3.6,7.7)(3.8,8.3)(4,9.5)
\pscurve(11,5.95)(10.8,6.45)(10.6,7)(10.4,7.7)(10.2,8.3)(10,9.5)
\pscurve[linestyle=dashed](3,2.25)(3.5,2.85)(4,3.07)(5,3.3)(6,3.45)(7,3.5)(8,3.45)(9,3.3)(10,3.07)(10.5,2.85)(11,2.25)
\pscurve[linestyle=dashed](3,6)(3.5,6.6)(4,6.82)(5,7.05)(6,7.2)(7,7.25)(8,7.2)(9,7.05)(10,6.82)(10.5,6.6)(11,6)
\psline[linestyle=dashed](7,0)(7,12) 
\psline(3,2.25)(3,6) \psline(11,2.25)(11,6)
\psline[linestyle=dashed](0,2.25)(3,2.25)
\psline[linestyle=dashed](0,6)(3,6)
\psline[linestyle=dashed](0,9.5)(4,9.5)
\psline[linestyle=dashed](11,0)(11,2.25)
\psline{<->}(7,0.2)(11,0.2)
\psline{<->}(0,2.25)(0,6)
\psline{<->}(0,6)(0,9.5)
\uput[u](9,0.2){0,50 m}
\rput{90}(-0.2,4){0,50 m}
\rput{90}(-0.2,7.5){0,50 m}
\psline[linestyle=dashed](10,9.5)(10,11)
\psline{<->}(7,11)(10,11)
\uput[u](8.5,11){0,39 m (*)}
\rput(3,0){(*) Cette cote a été arrondie au centième}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 