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% Tapuscrit Olivier Reboux
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2012~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Les différentes situations proposées sont indépendantes.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $z_{\text{B}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points A et B, images de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, sont représentés sur l'une des figures ci-dessous. Laquelle ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;-30)(1;-120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{b.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;150)(1;-120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{c.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;-30)(1;120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{d.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;150)(1;120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\item Un argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{4}$&\textbf{b.~~} $- \text{i}\dfrac{\pi}{2}$&\textbf{c.~~}$- \dfrac{\pi}{2}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{\pi}{6}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La longueur AB est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\sqrt{3}$&\textbf{b.~~}$\sqrt{2}$&\textbf{c.~~}$0$&\textbf{d.~~}$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $z_{\text{C}}$ le nombre complexe défini par $z_{\text{C}} = z_{\text{B}}^2$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{4\pi}{9}}$&\textbf{b.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{ \text{i}\frac{24\pi}{3}}$\\
\textbf{c.~~} $\left|z_{\text{C}} \right| = 2$&\textbf{d.~~} Les points B et C sont symétriques par rapport à O.\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2 + z + 1 = 0$ :

\textbf{a.~~} n'admet pas de solution ;

\textbf{b.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{A}}$ et $\overline{z_{\text{A}}}$ ;

\textbf{c.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{B}}$ et $\overline{z_{\text{B}}}$ ;

\textbf{d.~~} admet deux solutions réelles :  $\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ et  $\dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $y$ une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

On note $y''$ sa dérivée seconde.

Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'' + y = 0$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E), de dérivée notée $f'$, vérifiant les conditions :

\[f(0) = 1\quad \text{et} \quad  f'(0) = 1\]

\item  On admet que $f(x)$ peut s'écrire: 

\[f(x) = \sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right)\]

et qu'une représentation graphique de cette fonction est donnée ci-dessous. 

\psset{unit=1.2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(7,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-1.5)(7,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7}{x 0.7854 sub  180 mul 3.141 div cos 1.41421 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item Combien de solutions possède l'équation $f(x) = 1,5$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
		\item Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 1$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
		\item Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 0$ sur $[0~;~2\pi]$ ?
	\end{enumerate} 
\item Résoudre, dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation $f(x) = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Calcul de volume}

\medskip

Une entreprise souhaite construire un conteneur métallique (voir la figure 1) pour le commercialiser.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(9,8)
%\psplot{0}{1}{x dup mul 3  mul x 3 exp 2  mul sub 1 sub 7.4 add}
%\psplot{0}{1}{x 3 exp 2 mul x dup mul 3 mul sub 1 add}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,0)(6.6,7.4)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.65,3.7)(0.4,1.9)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\pscurve(-0.65,5.6)(-0.2,5.8)(0,6.1)(0.4,6.8)(1,7.35)(1.1,7.4)\psline(1.1,7.4)(1.1,0)
\pscurve(1.1,0)(1,0.05)(0.4,0.6)(0,1.3)(-0.2,1.6)(-0.65,1.8)}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.6,3.7)(0.8,3.7)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,3.7)(0.8,3.7)
\scalebox{0.216}[1]{\psarc(-2.8,3.7){1.85}{90}{-90}}%
\scalebox{0.216}[1]{\psarc[linestyle=dashed](-2.8,3.7){1.85}{-90}{90}}
\scalebox{0.2027}[1]{\psarc(4.8,3.7){3.65}{90}{-90}}%
\scalebox{0.2027}[1]{\psarc[linestyle=dashed](4.8,3.7){3.65}{-90}{90}}
%\psline[linewidth=0pt](-0.65,1.8)(-0.65,5.6)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](0.9,0)(1.1,7.4)
\rput(4,-0.5){Figure 1 - Le conteneur}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Ce conteneur est composé d'un cylindre et d'un goulot. Ce goulot est obtenu en faisant tourner, autour de l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~1], et représentée par l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la figure 2.

On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~1].

Le repère utilisé est orthonormal d'unité graphique : 1~m. 

On donne : A(0~;~1); B(1~;~2); C(4~;~2).

On précise que la courbe $C_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en A et en B.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(5,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,1){A}\uput[ur](1,2){B}\uput[ur](4,2){C}
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt](1,2)(4,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x dup mul 3 mul x 3 exp 2 mul sub 1 add}
\rput(2,-0.75){Figure 2 - Coupe latérale du conteneur}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À partir des données précédentes, préciser les valeurs de : 

\[f(0)\quad ; \quad  f(1)\quad ; \quad f'(0)\quad ; \quad f^{\prime}(1).\]

\item  On admet qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = ax^3 + bx^2 + 1$.
 
On cherche à déterminer ces deux nombres.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question 1, montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + b + 1 	&=&2\\
3a + 2b 	&=&0
\end{array}\right.$ 
		\item En déduire les valeurs de $a$ et $b$, puis $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~1].
	\end{enumerate}
\item On admet que, sur l'intervalle [0~;~1], on a :

\[[f(x)]^2 = 4x^6 - 12x^5 + 9x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 1\]

Déterminer une primitive de la fonction d'expression $[f(x)]^2$ sur [0~;~1].
\item Le volume du goulot engendré par $C_{f}$ sur [0~;~1] est donné en m$^3$ par :

\[\pi\int_{0}^1  [f(x)]^2\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie au dm$^3$ du volume du goulot.
		\item En déduire la valeur arrondie au dm$^3$ du volume total du conteneur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de l'évolution des ventes}

\medskip

On admet que l'évolution des ventes de ce conteneur métallique est modélisée par la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et d'expression: 

\[g(x) = \dfrac{400}{16\text{e}^{-x} + 4} - 20\]

où $x$ désigne le nombre de mois écoulés depuis le début de la fabrication des conteneurs et $g(x)$ le nombre de conteneurs vendus par mois.
 
On note $C_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $C_{g}$ ?
		\item Comment interpréter ce résultat pour l'évolution des ventes ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$ sur $[0~;~ + \infty[$.
Montrer que :

\[g'(x) = \dfrac{6400\text{e}^{-x}}{\left(16\text{e}^{-x} + 4\right)^2}\]

		\item Déterminer le signe de $g'(x)$ en justifiant la réponse et en déduire le tableau de variation de $g$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Justifier que l'entreprise devrait dépasser 70~conteneurs vendus par mois au cours du quatrième mois de production.
\end{enumerate}
\end{document}