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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation :
 
\[z^2 + 2z + 2 = 0.\]

		\item Résoudre dans $\C - \{1\}$ l'équation : $\dfrac{z+1}{z-1} = 
2 - \text{i}$. On écrira la solution sous forme algébrique.
	\end{enumerate}

\item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal 
\Ouv, on donne les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = -1 - \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2 + \text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Le justifier.
		\item En déduire l'affixe du point $\Omega$ centre du cercle 
circonscrit au triangle ABC et le rayon $r$ de ce cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle : $4y'' + \pi^2y = 0$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij. Déterminer la fonction $g$ solution de cette équation différentielle qui satisfait aux conditions
 suivantes :

$\bullet~$ la courbe représentative de $g$ passe par le point N de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ;

$\bullet~$la tangente à cette courbe en N est parallèle à l'axe des abscisses.
\item Vérifier que pour tout nombre réel $x~,~ 
 g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x -  \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Résoudre sur l'intervalle [- 2 ; 2 ] l'équation 
 $g(x) = - \dfrac{1}{2}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :

\[f(x) = \text{e}^{2x} + x.\]

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal  \Oij. (Unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étude du comportement de $f$ en $- \infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite 
$\Delta$ d'équation : $y = x$.
		\item Étudier les positions relatives de $\Delta$ et de $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :

Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item étude des variations de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au
 point d'abscisse 1. Vérifier que le point A $(1~;~\text{e}^2 + 1)$ appartient à T.
\item Dans le repère\Oij{} tracer $\Delta$, T et $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ a une 
 solution $\alpha$ et une seule sur $[-1 ~;~ 0]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. Justifier le résultat.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan limitée par la courbe
 $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$,~  et $x = 1$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie $\mathcal{D}$.
		\item Calculer, en unités d'aire et en fonction de $\alpha$, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier, en utilisant l'égalité $f(\alpha) = 0$, que 
$\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - \alpha ^2 + \alpha + 
1\right)$.
		\item Déterminer, au mm$^2$ près, une valeur approchée de 
$\mathcal{A}(\alpha)$ en prenant $- 0,43$ comme valeur approchée de 
$\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}