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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~ Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie des matériaux, mécanique } 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(E) : \quad  16y'' + y = 0,\]

 dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ la dérivée seconde de $y$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ telle que: 

\[g(0) = - \sqrt{3}\quad  \text{et}\quad  g'(\pi) = \dfrac{\sqrt{2}}{8} \left(\sqrt{3} + 1\right).\]
 
\item Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $g(x) = 2 \sin \left(\dfrac{x}{4} - \dfrac{\pi}{3}\right)$. 
\item Résoudre dans $[0~;~ 8\pi[$ l'équation : $g(x) = 1$. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $1$~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation: 

\[z^3 - 12z^2 + 48z = 0.\]

\medskip

\item Soient A et B les points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que : 

\[z_{\text{A}} = 6 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 6 - 2\text{i}\sqrt{3}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Placer A et B dans le plan. 
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral. 
		\item  Soit $\Omega$ le point d'affixe 4.
		 
Démontrer que les points O, A et B se trouvent sur un cercle $(\Gamma)$ de centre $\Omega$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = x^2 - 2\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variations.
 
(On ne demande pas de calculer les limites aux bornes de I.)
\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ strictement positif : $g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1 + \ln x }{x}. \]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $0$ et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item  En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x }{x}.\] 

étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. 
		\item  Déduire de la Partie A le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de la  fonction $f$ sur l'intervalle I. 
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $(D)$ la droite d'équation : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(D)$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.  
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $(D)$.
		\item  Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(D)$.
	\end{enumerate} 
\item Construire avec soin, dans le repère \Oij, la droite $(D)$ et la courbe  $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle I par : 

\[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  En remarquant que $h(x)$ est de la forme $u'(x) u(x)$, déterminer une primitive de la fonction $h$.
\item  On considère la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équation :  $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = \text{e}^2$.
 
Hachurer cette partie de plan, puis calculer son aire en cm$^2$. 
\end{enumerate}
\end{document}