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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Les deux situations proposées sont indépendantes.\\ 
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\ 
Indiquer sur la copie la référence de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions dont l'expression est donnée ci-dessous, déterminer celle qui est solution de l'équation différentielle 

\[4y'' + y = 0.\]

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}\quad $f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$&\textbf{c.}\quad $f(x) = \cos \left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$\\ 
\textbf{b.}\quad $f(x) = \text{e}^{4x}$&\textbf{d.}\quad  $f(x) = \cos (2x) + \sin (2x)$
\end{tabularx}
 
\item Soient deux nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ tels que $z_{A} = \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et $z_{B} =  \text{e}^{\frac{- 2\text{i}\pi}{3}}$.
 
Un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{A}}{z_{B}}$ est égal à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $\dfrac{\text{i}\pi}{6}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{\pi}{6}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{- \text{i}\pi}{2}$&\textbf{d.}\quad$- \dfrac{\pi}{2}$
\end{tabularx} 

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \ln(x) - x$.
 
La limite de $f$ en $+ \infty$ vaut : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $ - \infty$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $0$&\textbf{d.}\quad $- 1$
\end{tabularx} 
 
\item $u$ est une suite géométrique de raison $- 5$ et de premier terme $u_{0} = 2$.
 
Laquelle de ces affirmations est exacte ? 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $u_{3} = - 13$&\textbf{b.}\quad $u_{3} = - 10$ &\textbf{c.}\quad $u_{3} = = 250$&\textbf{d.}\quad $u_{3} = - 250$
\end{tabularx}

\item La somme des cent premiers entiers strictement positifs vaut: 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad \np{5000}&\textbf{b.}\quad \np{10000}&\textbf{c.}\quad 
\np{5050}&\textbf{d.}\quad 
\np{9990}
\end{tabularx}
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une société souhaite mettre sur le marché un nouveau jeu à gratter, dont le principe est le suivant.

\medskip
 
Chaque ticket est composé de deux cases :
 
la première case représente soit un soleil, soit une lune ;

la seconde case représente soit un c{\oe}ur, soit un pique.
 
La société compte commercialiser \np{10000}~tickets répondant aux contraintes suivantes :

\medskip

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ces tickets comportent un soleil ; 
\item[$\bullet~~$] 1\,\% des tickets présentant un soleil comportent un c{\oe}ur ; 
\item[$\bullet~~$] 0,5\,\% des tickets présentant une lune comportent un c{\oe}ur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les différents tickets possibles. 
		\item Justifier que le nombre de tickets comportant un soleil et un pique est égal à $990$.

	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau fourni en annexe, à rendre avec la copie. 
\item Un joueur reçoit \np{1000}~euros lorsqu'il obtient un soleil et un c{\oe}ur, $50$~euros lorsqu'il obtient une lune et un cœur, 10~euros lorsqu'il obtient un soleil et un pique, 0~euro sinon.
 
On admet que chaque ticket a la même probabilité d'être choisi par le joueur.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
		 
Que représente E($X$) pour le joueur ?
	\end{enumerate} 
\item La société qui commercialise ce jeu vend chaque ticket 3~euros.
 
Quel est le bénéfice réalisé par la société pour la vente des \np{10000}~tickets, en admettant qu'ils ont tous été vendus ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le dessin ci-dessous schématise la vue latérale d'un pont suspendu entre deux pylônes modélisés par les segments [AB] et [A$'$B$'$]. Les câbles verticaux, comme celui modélisé par le segment [HH$'$], sont régulièrement espacés les uns des autres. La longueur AA$'$ est de 220 mètres. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-120,0)(120,40)
\psline(-122,0)(122,0)
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline[linewidth=1.5pt](-110,0)(-110,27.15)\psline(-99,0)(-99,19.54)
\psline(-88,0)(-88,14.09)\psline(-77,0)(-77,10.17)
\psline(-66,0)(-66,7.38)\psline(-55,0)(-55,5.4)
\psline(-44,0)(-44,4.01)\psline(-33,0)(-33,3.06)
\psline(-22,0)(-22,2.45)\psline(-11,0)(-11,2.11)
\psline(0,0)(0,2)\psline(11,0)(11,2.1)
\psline(22,0)(22,2.45)\psline(33,0)(33,3.06)
\psline(44,0)(44,4.01)\psline(55,0)(55,5.4)
\psline(66,0)(66,7.38)\psline(77,0)(77,10.17)
\psline(88,0)(88,14.09)\psline(99,0)(99,19.54)
\psline[linewidth=1.5pt](110,0)(110,27.15)
\uput[d](77,0){H}\uput[u](77,10.17){H$'$}
\uput[d](110,0){A}\uput[u](110,27.15){B}
\uput[d](-110,0){A$'$}\uput[u](-110,27.15){B$'$}
\uput[d](0,0){O}\uput[u](0,2){K}
\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,40)\uput[l](0,40){$y$}
\uput[d](125,0){$x$}
\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Dans le dessin ci-dessus, le point O et les demi-droites [O$x$) et [O$y$) permettent de définir un repère orthonormal \Oij{} dans lequel le point A aura pour coordonnées (110~;~0), l'unité étant le mètre.
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$[-110~;~110]$ d'expression :
 
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,06x} + 1}{\text{e}^{0,03x}}\]

On admet que l'arc $\wideparen{\text{B}'\text{KB}}$ est la courbe représentative, dans le repère donné, de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Une propriété de la courbe représentative}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$ : 

\[f(x) = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{- 0,03x}.\]
 
\item On remarque que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle 
$[-110~;~110]$, 

$f(-x) = f(x)$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \: \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-110~;~110]$.
 
Montrer que : $f'(x) = \dfrac{0,03\left(\text{e}^{0,06x} - 1\right)}{\text{e}^{0,03x}}$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : 	$\text{e}^{0,06x} - 1 > 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item À l'aide du tableau de variation, donner en mètres : 
	\begin{enumerate}
		\item la longueur du câble vertical le plus court ; 
		\item la hauteur du pylône représenté par le segment [AB] dont on donnera une valeur approchée à $0,1$près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Étude de la résistance au vent}

\medskip
 
On s'intéresse maintenant à la résistance au vent de la structure verticale du pont suspendu.
 
Un bureau d'étude affirme que l'aire de la surface exposée à l'action du vent est égale au dixième de l'aire de la surface plane, pleine et fermée, délimitée par les segments [B$'$A$'$], [A$'$A], [AB] et l'arc BKB$'$.
 
Cette surface est représentée par la partie grisée sur la figure ci-dessous : 

\begin{center}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-120,-10)(120,30)
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-110,0)(110,29)
\psline(-110,0)(110,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline(110,0)(-110,0)}
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline[linewidth=1.5pt](-110,0)(-110,27.15)\psline(-100,0)(-100,20.14)
\psline(-90,0)(-90,14.95)\psline(-80,0)(-80,11.1)
\psline(-70,0)(-70,8.29)\psline(-60,0)(-60,6.21)
\psline(-50,0)(-50,4.7)\psline(-40,0)(-40,3.6)
\psline(-30,0)(-30,2.9)\psline(-20,0)(-20,2.4)
\psline(-10,0)(-10,2.1)
\psline(0,0)(0,2)\psline(10,0)(10,2.1)
\psline(20,0)(20,2.4)\psline(30,0)(30,2.9)
\psline(40,0)(40,3.6)\psline(50,0)(50,4.7)
\psline(60,0)(60,6.21)\psline(70,0)(70,8.29)
\psline(80,0)(80,11.1)\psline(90,0)(90,14.95)
\psline(100,0)(100,20.14)
\psline[linewidth=1.5pt](110,0)(110,27.15)
\uput[d](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,30)\uput[l](0,30){$y$}
\uput[d](125,0){$x$}
%\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
%\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable pour tout $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$, d'expression: 
 
\[F(x) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03x} - \text{e}^{-0,03x}\right).\] 
 
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer l'aire, exprimée en m$^2$, de la surface exposée à l'action du vent. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (exercice 2) à rendre avec la copie }

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}Nombre de tickets :\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&avec un soleil& avec une lune& Total\\ \hline 
avec un c{\oe}ur&&& \\ \hline 
avec un pique& 990&&\\ \hline 
Total&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
\end{document}