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% Tapuscrit Olivier Reboux avec nos remerciements
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI France 23 juin 2009~\decofourright  \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\vspace{0.5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle

\[ 4y'' + y = 0 \tag{E}, \]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et ou $y''$ désigne sa dérivée seconde.
\item Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appelée $f$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est fournie en annexe. On note $f'$   la fonction dérivée de $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(0\,;\,1)$ et
   admet en ce point une tangente de coefficient directeur
   $\frac{1}{2}$. En déduire les valeurs de $f (0)$ et $f'(0)$.
		\item Montrer que la solution particulière $f$ de l'équation
   (E) est définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \cos\left (\frac{x}{2} \right) + \sin\left (\frac{x}{2} \right).\]
   
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ le domaine du plan délimité par : 
	\begin{itemize}
		\item l'axe des abscisses ;
		\item l'axe des ordonnées ;
		\item la droite d'équation $x =  \pi$,
		\item la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{itemize}
Hachurer  le domaine $D$ sur la feuille annexe.  
\item Montrer que $[f(x)]^2 = 1 + \sin (x)$.
\item On considère le solide de révolution engendré
 par la rotation du domaine $D$ autour de l'axe des abscisses.

 Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ de ce
 solide.  

 On rappelle que $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{\pi}[f(x)]^2\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 1 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(6.2,4.5)
\psset{unit=1cm,algebraic,} 
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{6}{cos(x/2)+sin(x/2)}
\psplot[plotpoints=3000]{-3}{6}{0.5*x+1}
\psaxes[Dx=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-3,-1)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,1)(3.141,0)
\uput[u](6.1,0){$x$}
\uput[r](0,4.1){$y$}
\uput[ur](0,1){A}\uput[d](3.141,0){$\pi$}
\uput[ur](3,1.1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On désigne par $i$ le complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: 

\[(z + 4)\left(z^{2} - 4z + 16\right) = 0.\]

\item On considère les nombres complexes définis par :

\[z_A = 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \qquad z_B = 2 - 2\text{i}\sqrt{3} \qquad z_c = -4.\]

 Calculer le module et un argument de $z_A$.

 En prenant comme unité graphique $1$ cm, placer dans le plan
 complexe (en utilisant une feuille de papier millimétré) le point $A$
 d'affixe $z_A$, le point $B$ d'affixe $z_B$ et le point $C$ d'affixe
 $z_C$.

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
   incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
   compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ appartiennent à un même
   cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Placer le point $D$ milieu du segment $[AC]$.
		\item Déterminer la nature du triangle $BDA$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }  \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression

\[f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}. \]

On note $f'$ sa fonction dérivée.

Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la
   forme :

\[f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} + 1\right)}{\text{e}^{x}}.\]
   
		\item Étudier le signe de $f' (x)$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$ d'inconnue $X$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ équivaut à $2\left(\text{e}^{x}\right)^2 -
   5\text{e}^x + 2 =  0$.
		\item En utilisant la question a., résoudre l'équation 
   $2 \left(\text{e}^x\right)^2 -  5\text{e}^x + 2 = 0$.
		\item Quelles sont les abscisses des points d'intersection de la
   courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ?
		\item En utilisant les résultats des questions 2. c. et 3. d. déterminer le
   signe de $f(x) $sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à
 $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\ln (2)$.
\item En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le
 repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{T}$
 : unités graphiques $4$ cm sur l'axe des abscisses et $2$ cm sur
 l'axe des ordonnées. 
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable sur $\R$,
 d'expression $F(x) = \text{e}^x - \dfrac{5}{2}x -\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale 

   \[I= \int_{\ln(2)}^{2} f(x) \:\text{d} x.\]
   
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan dont l'intégrale $l$
   donne la valeur de l'aire $A$ en unité d'aire.
		\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de l'aire
   $A$ de la partie hachurée, exprimée en cm\up{$2$}. On donnera
   ensuite une valeur approchée de $A$ à $0,1$ cm\up{$2$} près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}