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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
 
\[(z - 4)\left(z^2 + 4z + 16\right) = 0.\]

\item Soient les nombres complexes suivants :

\[z_{1} = 4\qquad 	z_{2} =  -2 - 2\text{i}\sqrt{3}\qquad	z_{3} =   - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\qquad 	z_{4} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\qquad z_{5} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\]

\begin{enumerate}
\item  Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},\:z_{2}, \:z_{3}$.
\item Donner les formes algébriques de $z_{4}$ et de $z_{5}$.
\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. Soient les points A, B, C, D et E d'affixes respectives $z_{1},\: z_{2},\: z_{3},\: z_{4}$  et $z_{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A , B , C , D  et E dans le repère indiqué.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante :

\[\pi^2y  +  9y'' = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right).\]

Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie :
		
\[f(0) = 1 \quad  \text{et}\quad f'(0) = \dfrac{\pi}{3}.\]

		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x)$ peut s'écrire sous la forme
		
\[f(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

		\item Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation $f(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$.
\item En déduire les solutions, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, de l'équation 

$2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 =  0$.

On pourra poser $X =  \ln x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ f(x) = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate}
\item  Limites aux bornes
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra factoriser par $\ln x$).

	\end{enumerate}
\item Variations
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$,

$f'(x) = \dfrac{4 \ln x - 5}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On pourra remarquer que la fonction $f$ s'annule en $\sqrt{\text{e}}$ et en $\text{e}^2$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T dans le repère orthonormal \Oij.
\item Calcul d'une aire
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $\mathcal{A}$ du plan situé en dessous de l'axe (O$x$) et compris entre la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe (O$x$).
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

$F(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 9 \ln x + 11\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine $\mathcal{A}$. En donner l'arrondi à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 