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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 18 juin 2008 Métropole~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\vspace{0.5cm}

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

 Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$.

\item 	On considère les points A, B et C d'affixes respectives 
\[z_{\text{A}} =  1 - \text{i}\sqrt{3},~~ z_{\text{B}} = 2~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{A}}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$, de $z_{\text{B}}$ et de $z_{\text{C}}$.
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} (on laissera apparents les traits de construction).
		\item  Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item Soit $z_{\text{D}}$ le nombre complexe : $z_{\text{D}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}}$ sur le graphique précédent.
		\item  Calculer $z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}} - z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze. 
		\item Calculer les distances AB et CD. Que peut-on en conclure pour le trapèze ABCD ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d'elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de la chanson 	& 	1	& 	2&	3&	4&5		&	6	&	7&	8&	9&	10	&11\\ \hline
Durée en secondes		&200	&185 &150&200&185	&215	&230 &215&200&230	&300\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Un lecteur de CD sélectionne \emph{au hasard} une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont la même probabilité d'être sélectionnées.

\emph{ Les résultats seront donnés sous forme de fractions.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que la chanson \no 7 soit sélectionnée ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ : \og la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes \fg. 
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $B$ : \og la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes \fg.
		\item Soit $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$. Décrire $\overline{B}ø$ par une phrase, puis déterminer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item	On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les différentes valeurs prises par $X$.
		\item  Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie A - Exploitation d'un graphique}

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$, dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ est donnée sur la figure en annexe. On précise que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse $0$ et admet en ce point comme tangente la droite $d$ tracée sur la figure en annexe.

Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En prenant appui sur la représentation graphique donnée en annexe :
	\begin{enumerate}
		\item  Indiquer à quel entier est égal $g(0)$.
		\item  Expliquer pourquoi $g'(0) =  2$.
		\item  Préciser sur quel intervalle la fonction $g$ semble être positive.
 	\end{enumerate}
\item	On admet maintenant que $g(x) =  ax + b + \text{e}^x$ où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $b$ en utilisant la question \textbf{1. a.}.
		\item  Calculer $g'(x)$ en fonction de $a$ puis déterminer $a$ en utilisant la question \textbf{1. b.}.
		\item  En déduire que pour tout réel $x$,on a : $g(x) = x- 1 + \text{e}^x$.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ d'expression : \[f(x) = x - 4 - x\text{e}^{-x}.\]
Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, on a $f(x) =  x\left(1  - \dfrac{4}{x} -  \text{e}^{-x}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item 	Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 4$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
		\item 	Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{1}$- par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$, puis vérifier que : $f'(x) = g(x)\text{e}^{-x}$, où $g$ est la fonction obtenue dans la partie A (question 2. c.).
		\item 	En utilisant la question 1. c. de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$.
		\item 	Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item  En prenant pour unité graphique 1~cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'asymptote $\Delta$ dans le plan muni du repère \Oij.
\end{enumerate}
 
 \medskip

\textbf{Partie C - Calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression :
\[ h(x) = - x\text{e}^{-x}\]
	\begin{enumerate}
		\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression :
		
\[ H(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

Montrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$.
		\item En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie B.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =2$.
		\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ puis sa valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.333cm}

\begin{pspicture}(-5,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=1pt,griddots=10](0,0)(-5,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-2.5}{2.5}{x 2 mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-4}{1.495}{2.71828 x exp x add 1 sub}
\uput[r](2,4){$\Delta$} \uput[l](-3.5,-4.25){\blue $\mathcal{C}_{g}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[u](3.8,0){$x$}\uput[r](0,4.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}