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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurét STI Métropole juin 2010~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}
\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij. On considère l'équation différentielle (E) suivante : 

\[4y'' = -y\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et où $y''$ désigne sa dérivée seconde.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par :

\[f(x) =  2 \cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right).\]
 
Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$, puis vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E). 
		\item Déterminer la solution particulière $g$ de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative passe par les points A(0~;~1) et B$\left(\pi~;~-\sqrt{3}\right)$. 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $g(x) = f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ ; 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des complexes l'équation : 

\[(z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0.\]
 
\item On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives :

\[ z_{\text{A}} = 2 ~~;~~ z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}~~ ;~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}~~ ;~~ z_{\text{D}} = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}~~ ;~~ z_{\text{E}} = 2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Donner le module et un argument de $z_{\text{C}}$. 
		\item Donner sans calcul le module et un argument de $z_{\text{D}}$ 
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D, E dans le repère indiqué sur la feuille de papier millimétré fournie.
		 
On prendra comme unité graphique 2~cm sur chacun des axes.

\medskip
 
\emph{Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item Montrer que les points A, B, C, D, E sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Tracer le cercle dans le repère. 
		\item Quelle est la nature du triangle DBC ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

\[f(x) = 6 - x - \text{e}^{-x}.\]

Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item Montrer que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $f(x) = \text{e}^{-x}\left(6\text{e}^{x} -  x\text{e}^{x} - 1\right)$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$. En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y =  -x + 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
 	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur R. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la forme 
		
$f'(x) = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^x}$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^x \geqslant 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\Delta'$ la parallèle à $\Delta$ passant par l'origine.
 
	Calculer les coordonnées du point d'intersection N de $\Delta'$ et de $\mathcal{C}_{f}$. 
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $- \ln (6)$. 
\item En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $\Delta$, $\Delta'$ et $\mathcal{T}$. On prendra comme unité graphique 1~cm sur chacun des axes.  
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

\[F(x) = 6x - \dfrac{x^2}{2}+ \text{e}^{-x}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - \ln (6)$ et l'axe des ordonnées. 
		\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ de la partie hachurée.
		 
On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie de $\mathcal{A}$ au dixième de cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}